策略算法

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策略梯度

与前面的基于价值的算法不同，这类算法直接对策略本身进行近似优化。

在这种情况下，我们可以将策略描述成一个带有参数$$\theta$$的连续函数，该函数将某个状态作为输入，输出的不再是某个确定性的离散动作，而是对应的动作概率分布，通常用$${\pi }_{\theta }(a|s)$$ 表示，称作随机性策略。

价值算法缺点

• 无法表示连续动作

由于 DQN 等算法是通过学习状态和动作的价值函数来间接指导策略的，因此它们只能处理离散动作空间的问题，无法表示连续动作空间的问题

• 高方差

基于价值的方法通常都是通过采样的方式来估计价值函数，这样会导致估计的方差很高，从而影响算法的收敛性。尽管一些 DQN 改进算法，通过改善经验回放、目标网络等方式，可以在一定程度上减小方差，但是这些方法并不能完全解决这个问题。

• 探索与利用的平衡问题

DQN 等算法在实现时通常选择贪心的确定性策略，而很多问题的最优策略是随机策略，即需要以不同的概率选择不同的动作。虽然可以通过$$ϵ\text{-greedy}$$ 策略等方式来实现一定程度的随机策略，但是实际上这种方式并不是很理想，因为它并不能很好地平衡探索与利用的关系。

策略梯度算法

特点: 直接对策略进行优化算法，但是优化目标与基于价值一样，都是累积的价值期望$$V^{\ast }(s)$$

轨迹产生的概率：

$$\begin{array}{rl}{P}_{\theta }(\tau )& =p(s_0){\pi }_{\theta }(a_0|s_0)p(s_1|s_0,a_0){\pi }_{\theta }(a_1|s_1)p(s_2|s_1,a_1)\cdots \\ & =p(s_0)\prod _{t=0}^T{\pi }_{\theta }\left(a_t|s_t\right)p\left(s_{t+1}|s_t,a_t\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(9.2)}$$

基于全期望公式得到价值的期望公式

$$\begin{array}{rl}J({\pi }_{\theta })=\underset{\tau \sim {\pi }_{\theta }}{E}[R(\tau )]& =P_{\theta }({\tau }_1)R({\tau }_1)+P_{\theta }({\tau }_2)R({\tau }_2)+\cdots \\ & ={\int }_{\tau }{P}_{\theta }(\tau )R(\tau )\\ & =E_{\tau \sim P_{\theta }(\tau )}[\sum _{t}r(s_t,a_t)]\end{array}\text{\hspace{1em}(9.3)}$$

由于$$R(\tau )$$与参数$$\theta$$无关,一来问题就稍稍简化成了如何求解$$P_{\theta }(\tau )$$ 的梯度了

后进行一系列推导

$${\nabla }_{\theta }{P}_{\theta }(\tau )=P_{\theta }(\tau )\frac{{\nabla }_{\theta }{P}_{\theta }(\tau )}{P_{\theta }(\tau )}=P_{\theta }(\tau ){\nabla }_{\theta }\log P_{\theta }(\tau )\text{\hspace{1em}(9.4)}$$

$$\log P_{\theta }(\tau )=\log p(s_0)+\sum _{t=0}^T(\log {\pi }_{\theta }(a_t\mid s_t)+\log p(s_{t+1}\mid s_t,a_t))\text{\hspace{1em}(9.5)}$$

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }\log P_{\theta }(\tau )& ={\nabla }_{\theta }\log {\rho }_0\left(s_0\right)+\sum _{t=0}^T\left({\nabla }_{\theta }\log {\pi }_{\theta }\left(a_t\mid s_t\right)+{\nabla }_{\theta }\log p\left(s_{t+1}\mid s_t,a_t\right)\right)\\ & =0+\sum _{t=0}^T\left({\nabla }_{\theta }\log {\pi }_{\theta }\left(a_t\mid s_t\right)+0\right)\\ & =\sum _{t=0}^T{\nabla }_{\theta }\log {\pi }_{\theta }\left(a_t\mid s_t\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(9.6)}$$

得到目标函数的梯度

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }J\left({\pi }_{\theta }\right)& ={\nabla }_{\theta }\underset{\tau \sim {\pi }_{\theta }}{\mathrm{E}}[R(\tau )]\\ & ={\nabla }_{\theta }{\int }_{\tau }{P}_{\theta }(\tau )R(\tau )\\ & ={\int }_{\tau }{\nabla }_{\theta }{P}_{\theta }(\tau )R(\tau )\\ & ={\int }_{\tau }{P}_{\theta }(\tau ){\nabla }_{\theta }\log P_{\theta }(\tau )R(\tau )\\ & =\underset{\tau \sim {\pi }_{\theta }}{\mathrm{E}}\left[{\nabla }_{\theta }\log P_{\theta }(\tau )R(\tau )\right]\\ & =\underset{\tau \sim {\pi }_{\theta }}{\mathrm{E}}\left[\sum _{t=0}^T{\nabla }_{\theta }\log {\pi }_{\theta }\left(a_t\mid s_t\right)R(\tau )\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(9.7)}$$

蒙特卡洛策略梯度算法

由于环境的初始状态为随机的，智能体的每次采样动作也是随机的，从而导致每条轨迹可能不一样。考虑采样数量足够多的轨迹，然后利用这些轨迹的平均值来近似求解目标函数的梯度。

$$\nabla J_{\theta }\approx \frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\sum _{t=1}^{T_n}{G}_t^n\nabla \log {\pi }_{\theta }\left(a_t^n\mid s_t^n\right)\text{\hspace{1em}(9.8)}$$

这里我们假定目标是使每回合的累积价值最大。

但是实际每回合的累积奖励或回报会受到很多因素的影响。后引入优势量来进行评估价值。

作业题

1. 基于价值和基于策略的算法各有什么优缺点？

基于价值的算法的优点包括：

• 可以收敛到全局最优策略，而不是局部最优。

• 可以利用贪心策略或者epsilon-greedy策略来平衡探索和利用。

• 可以用于离散或者连续的状态空间。

基于价值的算法的缺点包括：

• 对于高维或者连续的动作空间，难以找到最优的动作。
• 需要存储和更新一个大的值函数表格或者近似函数，计算量较大。
• 不能很好地处理随机策略。

策略梯度算法优点:

• 适配连续动作空间。在将策略函数设计的时候我们已经展开过，这里不再赘述。
• 适配随机策略。由于策略梯度算法是基于策略函数的，因此可以适配随机策略，而基于价值的算法则需要一个确定的策略。此外其计算出来的策略梯度是无偏的，而基于价值的算法则是有偏的。

策略梯度算法缺点

• 采样效率低。由于使用的是蒙特卡洛估计，与基于价值算法的时序差分估计相比其采样速度必然是要慢很多的，这个问题在前面相关章节中也提到过。
• 高方差。虽然跟基于价值的算法一样都会导致高方差，但是策略梯度算法通常是在估计梯度时蒙特卡洛采样引起的高方差，这样的方差甚至比基于价值的算法还要高。
• 收敛性差。容易陷入局部最优，策略梯度方法并不保证全局最优解，因为它们可能会陷入局部最优点。策略空间可能非常复杂，存在多个局部最优点，因此算法可能会在局部最优点附近停滞。
• 难以处理高维离散动作空间：对于离散动作空间，采样的效率可能会受到限制，因为对每个动作的采样都需要计算一次策略。当动作空间非常大时，这可能会导致计算成本的急剧增加。

1. 马尔可夫平稳分布需要满足什么条件？

• 非周期性：由于马尔可夫链需要收敛，那么就一定不能是周期性的，实际上我们处理的问题基本上都是非周期性的，这点不需要做过多的考虑。
• 状态连通性：即存在概率转移矩阵P，能够使得任意状态S0经过有限次转移到达状态s，反之亦然。

1. REINFORCE 算法会比 Q-learning 算法训练速度更快吗？为什么？

是的。REINFORCE 算法直接优化一个参数化的策略函数，而不需要估计一个值函数.Q-learning 算法是一种基于价值的算法，它通过学习一个状态-动作值函数来评估不同动作的优劣，然后根据这个函数来选择最优的动作。

1. 确定性策略与随机性策略的区别？

• 确定性策略是指在每个状态下，只选择一个固定的动作，不考虑其他可能的动作。确定性策略可以用一个函数来表示，即 $$a=\mu (s)$$ ，其中 a 是动作，s 是状态，$$\mu$$是策略函数。
• 随机性策略是指在每个状态下，按照一定的概率分布来选择动作，而不是唯一确定的。随机性策略可以用一个条件概率来表示，即 $$\pi (a|s)$$，其中 $$\pi$$是策略函数，表示在状态 s 下选择动作 a 的概率。

随机性策略可以更好地探索环境，避免陷入局部最优，而确定性策略可以更高效地利用已知的信息，减少计算量。

Actor-Ctitic算法

策略梯度算法优缺点:

• 适配连续动作空间。在将策略函数设计的时候我们已经展开过，这里不再赘述。
• 适配随机策略。由于策略梯度算法是基于策略函数的，因此可以适配随机策略，而基于价值的算法则需要一个确定的策略。此外其计算出来的策略梯度是无偏的，而基于价值的算法则是有偏的。

但同样的，策略梯度算法也有其缺点。

• 采样效率低。由于使用的是蒙特卡洛估计，与基于价值算法的时序差分估计相比其采样速度必然是要慢很多的，这个问题在前面相关章节中也提到过。
• 高方差。虽然跟基于价值的算法一样都会导致高方差，但是策略梯度算法通常是在估计梯度时蒙特卡洛采样引起的高方差，这样的方差甚至比基于价值的算法还要高。
• 收敛性差。容易陷入局部最优，策略梯度方法并不保证全局最优解，因为它们可能会陷入局部最优点。策略空间可能非常复杂，存在多个局部最优点，因此算法可能会在局部最优点附近停滞。
• 难以处理高维离散动作空间：对于离散动作空间，采样的效率可能会受到限制，因为对每个动作的采样都需要计算一次策略。当动作空间非常大时，这可能会导致计算成本的急剧增加。

结合策略梯度与值函数的Actor-Critic算法能够同时兼顾两者的优点，甚至还能缓解两种方法都很难解决的高方差问题。

策略梯度算法高方差来源为 直接对策略参数化，相当于既要利用策略与环境进行交互采样，又要利用采样去估计策略梯度。

价值函数算法高方差来源为 需要与环境交互采样来估计值函数。

而两者结合后，Actor网络部分还是负责估计策略梯度和采样，但是Critic网络 也就是原来的值函数部分就不需要采样只负责估计值函数，并且由于它估计的值函数为策略函数的只，相当于带来了一个更稳定的估计用于指导Actor的更新，反而能够缓解策略梯度估计带来的高方差。

由于AC网络并不能彻底解决策略梯度算法的高方差问题，所以为了进一步缓解高方差问题，引入了一个优势函数，用来表示当前状态-动作对相当于平均水平的优势

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这里优势函数相当于减去了一个基线，可以自由选择，但是通常选择状态价值函数使得梯度估计更加稳定。即A2C算法。而A3C算法是在A2C基础上引入了多线程的概念提高训练效率。原先的 A2C 算法相当于只有一个全局网络并持续与环境交互更新。而 A3C 算法中增加了多个进程，每一个进程都拥有一个独立的网络和环境以供交互，并且每个进程每隔一段时间都会将自己的参数同步到全局网络中，这样就能提高训练效率。

作业题

1. 相比于 REINFORCE 算法， A2C 主要的改进点在哪里，为什么能提高速度？

A2C引入了优势函数与AC演员评论家网络。A2C 算法是一种演员-评论家算法，它引入了一个值函数作为评论家，可以在每一步或者每几步就根据优势函数来更新策略和值函数。可以衡量一个动作相对于平均水平的优劣。这些改进使得 A2C 算法能够更快地收敛到最优策略，提高了训练的速度和效果。

1. A2C 算法是 on-policy 的吗？为什么？

什么能提高速度？

A2C引入了优势函数与AC演员评论家网络。A2C 算法是一种演员-评论家算法，它引入了一个值函数作为评论家，可以在每一步或者每几步就根据优势函数来更新策略和值函数。可以衡量一个动作相对于平均水平的优劣。这些改进使得 A2C 算法能够更快地收敛到最优策略，提高了训练的速度和效果。

1. A2C 算法是 on-policy 的吗？为什么？

是的。 A2C 算法的目标是最大化累积回报的期望，而这个期望是基于当前的策略分布的，如果使用不同的策略分布来采样数据，那么就会导致偏差和不一致。