LeetCode算法题解（动态规划）|LeetCode1143. 最长公共子序列、LeetCode1035. 不相交的线、LeetCode53. 最大子数组和

一、LeetCode1143. 最长公共子序列

题目链接：1143. 最长公共子序列

题目描述：

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

算法分析：

定义dp数组及下标含义：

dp[i][j]表示在区间[0,i]之间的text1字符串，与区间[0,j]的text2字符串最长的公共子序列长度。

递推公式：

如果字符text[i]与字符text2[j]相等，那么dp[i][j]可由dp[i-1][j-1]推出来，即[0,i]之间的text1字符串与[0,j]之间text2字符串的最长公共子序列长度等于，[0,i-1]之间的text1字符串与[0,j-1]之间的text2字符串的最长公共子序列长度加一。

如果不相等，那么dp[i][j]可由两个方向推导出来：

1、[0,i-1]之间的text1字符串与[0,j]之间的text2字符串的最长公共子序列长度。

2、[0,i]之间的text1字符串与[0,j-1]之间的text2字符串的最长公共子序列长度。

所以dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])；

初始化：

因为dp[i][j]是由dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1]三个方向推出来的，所以需要初始化最左边一列和最上边那一行。

        for(int i = 0; i < text2.length(); i++){//如果dp[0][i]被初始化成1，那么后面的都需初始化成1if(text1.charAt(0) == text2.charAt(i)){dp[0][i] = 1;}else if(i == 0){dp[0][i] = 0;}else{dp[0][i] = dp[0][i-1];}}for(int i = 0; i < text1.length(); i++){//如果dp[i][0]被初始化成1，那么后面的都需初始化成1if(text1.charAt(i) == text2.charAt(0)){dp[i][0] = 1;}else if(i == 0){dp[i][0] = 0;}else{dp[i][0] = dp[i-1][0];}}

遍历顺序：

先遍历text1再遍历text2或先遍历text2再遍历text1都可以，不过都需从下标1开始往后遍历。

打印dp数组进行验证。

代码如下：

class Solution {public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {int[][] dp = new int[text1.length()][text2.length()];for(int i = 0; i < text2.length(); i++){if(text1.charAt(0) == text2.charAt(i)){dp[0][i] = 1;}else if(i == 0){dp[0][i] = 0;}else{dp[0][i] = dp[0][i-1];}}for(int i = 0; i < text1.length(); i++){if(text1.charAt(i) == text2.charAt(0)){dp[i][0] = 1;}else if(i == 0){dp[i][0] = 0;}else{dp[i][0] = dp[i-1][0];}}for(int i = 1; i < text1.length(); i++) {for(int j = 1; j < text2.length(); j++) {if(text1.charAt(i) == text2.charAt(j)){dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);}}}// for(int i = 0; i < text1.length(); i++) {//     for(int j = 0; j < text2.length(); j++) {//         System.out.print(dp[i][j]+" ");//     }//     System.out.println();// }return dp[text1.length()-1][text2.length()-1];}
}

二、LeetCode1035. 不相交的线

题目链接：1035. 不相交的线

题目描述：

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：

nums1[i] == nums2[j]
且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

示例 1：

输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 
但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。

示例 2：

输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]
输出：3

示例 3：

输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1]
输出：2

提示：

1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
1 <= nums1[i], nums2[j] <= 2000

算法分析：

这道题的思路其实跟上一道题是一模一样的，要求可以绘制的不相交的最大连线数，也就是求两个数组的最大公共子序列。

定义dp数组及下标含义：

dp[i][j]表示[0,i]区间的nums1子数组和[0,j]区间的nums2子数组的最长公共子序列。

递推公式：

如果nums1[i]与nums2[j]相等，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；

如果不相等那么dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

初始化：

初始化第一列和第一行。

        for(int i = 0; i < nums1.length; i++) {if(nums1[i] == nums2[0]){dp[i][0] = 1;}else if(i == 0){dp[i][0] = 0;}else{dp[i][0] = dp[i-1][0];}}for(int i = 0; i < nums2.length; i++) {if(nums2[i] == nums1[0]){dp[0][i] = 1;}else if(i == 0){dp[0][i] = 0;}else{dp[0][i] = dp[0][i-1];}}

遍历顺序：

先遍历nums1在遍历nums2或先遍历nums2在遍历nums1都可以。

打印dp数组验证。

代码如下：

class Solution {public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {int[][] dp = new int[nums1.length][nums2.length];for(int i = 0; i < nums1.length; i++) {if(nums1[i] == nums2[0]){dp[i][0] = 1;}else if(i == 0){dp[i][0] = 0;}else{dp[i][0] = dp[i-1][0];}}for(int i = 0; i < nums2.length; i++) {if(nums2[i] == nums1[0]){dp[0][i] = 1;}else if(i == 0){dp[0][i] = 0;}else{dp[0][i] = dp[0][i-1];}}for(int i = 1; i < nums1.length; i++) {for(int j = 1; j < nums2.length; j++) {if(nums1[i] == nums2[j]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);}}}return dp[nums1.length-1][nums2.length-1];}
}

三、LeetCode53. 最大子数组和

题目链接：53. 最大子数组和

题目描述：

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

1 <= nums.length <= 105
-104 <= nums[i] <= 104

算法分析：

定义dp数组及下标含义：

dp[i]表示以nums[i]结尾的子序列的最大和。

递推公式：

dp[i]可以由两个方向推出来，一个是dp[i-1]+nums[i]，以nums[i-1]结束的子序列的最大和加上第i个元素；两一个是nums[i]，重新开始一段子序列和。

初始化：

dp[0]=nums[0]。

遍历顺序：

从前往后遍历数组中的元素。

打印dp数组。

代码如下：

class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int[] dp = new int[nums.length];dp[0] = nums[0];int result = dp[0];//记录最大的子数组和。for(int i = 1; i < nums.length; i++){dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);if(dp[i] > result) result = dp[i];}return result;}
}