在上一篇中我们推导了损失函数 J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( y i − h θ ( x i ) ) 2 J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (y^{i} - h_{\theta}(x^{i}))^2 J(θ)=2m1∑i=1m(yi−hθ(xi))2的由来，结尾讲到最小化这个损失函数来找到最优的参数 θ \theta θ，通常是使用梯度下降实现的。
梯度下降广泛用于机器学习和统计建模中的参数估计，特别是在训练线性回归模型时。它的目标是最小化一个损失函数（目标函数），这个函数量化了模型预测和真实数据之间的误差。梯度下降通过迭代地调整模型的参数来减少成本函数的值。
梯度下降的过程类似于一个“盲人下山”的过程：
起始点：就像盲人随机地在山上的某个位置开始，梯度下降算法通常从一个随机的参数值开始。这个起始点可能远离最小值，也就是最低点。
目标值（误差最低值）：算法的目标是找到成本函数的最小值，这就好比盲人想要下山到达山谷底部，那里是海拔最低的地方。
获取移动方向：盲人通过脚下的坡度来判断下山的方向，而梯度下降算法通过计算成本函数的梯度来确定下降的方向。梯度告诉我们成本函数上升最快的方向，我们需要往相反方向移动来降低成本函数的值。
控制移动距离（步长）：盲人下山时的每一步都不会太大，以免跌倒；同理，梯度下降算法中的学习率决定了每一步下降的距离。学习率太大可能会越过最小值，太小则下降过程会非常缓慢。
递归移动（迭代更新）：盲人会一步一步地移动，每走一步都基于当前位置的坡度来决定下一步的方向。梯度下降算法通过迭代地更新参数，每次迭代都基于当前参数的梯度来更新，直到找到最小值或者达到其他停止条件。
在这个下山（梯度下降）概念中，又细分出几种算法，其中如上述的普通梯度下降被命名为：批量梯度下降，除了批量梯度下降外还有随机梯度下降和小批量梯度下降。
批量梯度下降：
批量梯度下降（Batch Gradient Descent）和上述的方法一样，小步多次逐步找到最终的目标值，在每次迭代中使用全部的训练数据来计算损失函数的梯度。因为要用到全部训练数据，所以内存占用高、性能差、速度慢、准确度高。
批量梯度下降的详细步骤：
- 初始化参数：
在开始迭代之前，首先随机选择一组参数 θ \theta θ或者从一个零向量开始。 - 计算梯度：
在每次迭代中，先计算损失函数对于每个参数 θ j \theta_j θj的梯度。这涉及到对整个训练集的计算，如下所示： ∇ θ J ( θ ) = − α 1 m ∑ i = 1 m ( y i − h θ ( x i ) ) x i \nabla_{\theta} J(\theta) = -\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (y^{i}-h_{\theta}(x^{i}) )x^{i} ∇θJ(θ)=−αm1i=1∑m(yi−hθ(xi))xi
其中:
- ∇ θ J ( θ ) \nabla_{\theta} J(\theta) ∇θJ(θ)表示损失函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ)关于参数向量 θ \theta θ的梯度
- m m m是训练样本的数量
- x i x^{i} xi是第 i i i个训练样本的特征
- y i y^{i} yi是对应的目标值
- y i − h θ ( x i ) y^{i} - h_{\theta}(x^{i}) yi−hθ(xi)是预测误差，也就是模型对第 i i i个训练样本的预测值 h θ ∗ ( x i ) h_{\theta}* (x^{i}) hθ∗(xi)与实际值 y i y^{i} yi之间的差异
- x i x^{i} xi（第 i i i的特征向量）与预测误差相乘，表示梯度是如何随着特征 x i x^{i} xi的变化而变化
- α \alpha α表示步长
- 更新参数：
计算出梯度后，更新参数 θ : = θ − α ∇ θ J ( θ ) \theta := \theta - \alpha \nabla_{\theta} J(\theta) θ:=θ−α∇θJ(θ)
α 是学习率，决定了在参数空间中移动的步长。
迭代直至收敛：
重复步骤2和步骤3直到损失函数的值不再显著变化，或者达到一定的迭代次数。
所以相对于 θ j \theta_j θj的下一个位置 θ j ′ \theta_j^{\prime} θj′就可以表示为 θ j \theta_j θj减去 ( − 1 m ∑ i = 1 m ( y i − h θ ( x i ) ) x i ) (-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (y^{i}-h_{\theta}(x^{i}) )x^{i}) (−m1∑i=1m(yi−hθ(xi))xi)，即：
θ j ′ = θ j + α 1 m ∑ i = 1 m ( y i − h θ ( x i ) ) x j i \theta_j^{\prime} = \theta_j + \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left(y^{i} - h_{\theta}(x^{i}) \right) x_j^{i} θj′=θj+αm1i=1∑m(yi−hθ(xi))xji
随机梯度下降：
随机梯度下降是批量梯度下降的一个优化版本，每次只找一个样本，迭代速度快，但不一定每次都朝着收敛方向。对于每个参数 θ j ′ \theta_j^{\prime} θj′，更新规则如下：
θ j ′ = θ j + ( y i − h θ ( x i ) ) x j i \theta_j^{\prime}= \theta_j + \left({y^{i} - h_ \theta}(x^{i}) \right) x_j^{i} θj′=θj+(yi−hθ(xi))xji
小批量梯度下降：
小批量梯度下降在每次迭代中使用一个小批量（batch）的样本来计算梯度和更新参数。相当于取少量的数据牺牲一些每次移动的准确性，从而极大提高运算速度，因此也是最常用的梯度下降方法。对于每个参数 θ j ′ \theta_j^{\prime} θj′，更新规则如下：
θ j ′ = θ j − α 1 B ∑ i = k k + B − 1 ( h θ ( x i ) − y i ) x j i \theta_j^{\prime}= \theta_j - \alpha \frac{1}{B} \sum_{i=k}^{k+B-1} \left( h_{\theta}(x^{i}) - y^{i} \right) x_j^{i} θj′=θj−αB1i=k∑k+B−1(hθ(xi)−yi)xji
