深度学习——第6章浅层神经网络（NN）

第6章浅层神经网络（NN）

上一课主要介绍了一些神经网络必备的基础知识，包括Sigmoid激活函数、损失函数、梯度下降和计算图。这些知识对学习神经网络非常有用。本节将开始真正的神经网络学习，从一个浅层的神经网络出发，详细推导其正向传播和反向传播完整过程。

6.1 神经网络模型概述

首先，我们来看一个简单的神经网络模型：

在这里插入图片描述

最简单的神经网络模型由输入层（Input Layer）、隐藏层（Hidden Layer）、输出层（Output Layer）组成，我们称之为2层神经网络。隐藏层和输出层都由个数不一的神经元组成。如上图所示，输入层有3个输入：x1、x2、x3，分别代表不同的输入特征。例如一张图片所有的像素值（当然不止3个）。一般地，输入层不标注 $\bigcirc$ ，表示没有神经元。该神经网络模型隐藏层包含了4个神经元，输出层只有1个神经元。

需要特别注意的是，在解决二分类或者预测问题时，输出层神经元个数为1。如果是多分类问题，输出层就需要多个神经元。这里先介绍最简单的神经网络模型，多分类问题之后再详细介绍。

第1章已经介绍过单个神经元的结构：

在这里插入图片描述
单个神经元包含参数 $W$ 和 $b$ ，分别称之为权重系数（参数）和常数项。 $W$ 的维度与输入 $x$ 的维度相同， $b$ 是单个元素的标量。神经元整个计算过程分成两部分：线性计算和非线性计算。

我们来看上面的神经网络模型，输入层矩阵 $x$ 的维度是（3，1）。通常我们习惯把 $X$ 记为 $a^{[0]}$ ，上标[0]表示输入层。因为输入层没有神经元计算，所以用0标注。隐藏层有4个神经元，每个神经元均与 $a^{[0]}$ 连接。因此，隐藏层的权重系数 $W^{[1]}$ 的维度是（4，3），注意这里的上标[1]表示隐藏层。隐藏层的常数项 $b^{[1]}$ 的维度是（4，1）。输出层只有1个神经元，与4个隐藏层神经元相连接。因此，输出层的权重
数 $W^{[2]}$ 的维度是（1，4），上标[2]表示输出层。同理，输出层常数项 $b^{[2]}$ 的维度是（1，1），即只有一个元素。

神经网络每次迭代训练由正向传播和反向传播两部分组成。正向传播就是训练样本数据通过输入层–>隐藏层–>输出层，经过各层神经元计算后得到预测值，预测值与真实样本标签误差产生损失函数。然后，再进行反向传播。为了让损失函数减小，利用梯度下降算法，更新权重系数 $W$ 和常数项 $b$ 。这样就完成了一次迭代训练。经过多次的迭代训练之后，通常能使损失函数逐渐减小，最终确定最优化时对应的 $W$ 和 $b$ 。这样，整个神经网络的训练过程就结束了。

6.2 神经网络正向传播

知道了输入 $x$ ，参数 $W^{[1]}$ 、 $b^{[1]}$ 、 $W^{[2]}$ 、 $b^{[2]}$ 的维度之后，接下来重点推导一下神经网络的正向传播过程。

6.2.1 网络输出

从输入层到隐藏层，h1、h2、h3、h4神经元计算分为线性部分和非线性部分，整个过程可以写成：

$z_1^{[1]}=W_1^{[1]}x+b_1^{[1]},\ \ a_1^{[1]}=g(z_1^{[1]})$

$z_2^{[1]}=W_2^{[1]}x+b_2^{[1]},\ \ a_2^{[1]}=g(z_2^{[1]})$

$z_3^{[1]}=W_3^{[1]}x+b_3^{[1]},\ \ a_3^{[1]}=g(z_3^{[1]})$

$z_4^{[1]}=W_4^{[1]}x+b_4^{[1]},\ \ a_4^{[1]}=g(z_4^{[1]})$

其中，下标表示第几个神经元。例如 $z_j^{[l]}$ 就表示第 $l$ 层的第 $j$ 个神经元。注意， $j$ 从1开始， $l$ 从0开始。 $z_j^{[l]}$ 是线性输出， $a_j^{[l]}$ 是非线性输出， $g(\cdot)$ 表示激活函数。关于激活函数，稍后详细介绍。

从隐藏层到输出层，只有一个out神经元。注意此时神经元的输入不是 $x$ ，而是隐藏层的输出 $a^{[1]}$ 。整个过程为：

$z_1^{[2]}=W_1^{[2]}a^{[1]}+b_1^{[2]},\ \ a_1^{[2]}=g(z_1^{[2]})$

为了提高程序运算速度，我们利用之前介绍的向量化思想，将上述表达式转换成矩阵运算的形式：

$z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]}$

$a^{[1]}=g(z^{[1]})$

$z^{[2]}=W^{[2]}a^{[1]}+b^{[2]}$

$a^{[2]}=g(z^{[2]})$

以上介绍的是单个样本的正向传输过程，如果有m个样本，则输入X的维度为（3，m）。最简单的可以使用for循环来计算其正向输出。这里，我们用上标(i)表示第i个样本。过程如下：

for i=1 to m:

$Z^{[1](i)}=W^{[1]}X^{(i)}+b^{[1]}$

$A^{[1](i)}=g(Z^{[1](i)})$

$Z^{[2](i)}=W^{[2]}A^{[1](i)}+b^{[2]}$

$A^{[2](i)}=g(Z^{[2](i)})$

这里，X、Z、A都采用大写的形式，表示矩阵。 $Z^{[1]}$ 和 $A^{[1]}$ 的维度为（4，m）， $Z^{[2]}$ 和 $A^{[2]}$ 的维度为（1，m）。对这四个矩阵均可以这样理解：行表示第几个神经元，列表示样本数目m。

不使用for循环，直接采用矩阵运算的形式，可得：

$Z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]}$

$A^{[1]}=g(Z^{[1]})$

$Z^{[2]}=W^{[2]}A^{[1]}+b^{[2]}$

$A^{[2]}=g(Z^{[2]})$

这样，我们就完整地计算了神经网络模型的正向传播过程。有时候，为了便于理解， $X$ 也可以用 $A^{[0]}$ 表示。

6.2.2 激活函数

神经网络每个神经元都需要激活函数（Activation Function）来进行非线性运算。在上一篇中介绍的逻辑回归模型使用的Sigmoid函数，也是一种激活函数。下面重点介绍几个神经网络常用的激活函数 $g (x)$ ，并作简单比较。

（1）Sigmoid函数

在这里插入图片描述

函数表达式为：

$a=\frac{1}{1+e^{-z}}$

（2）tanh函数

在这里插入图片描述

函数表达式为：

$a=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}$

（3）ReLU函数

在这里插入图片描述

函数表达式为：

$a = ma x (0, z)$

（4）Leaky ReLU函数

在这里插入图片描述

函数表达式为：

$a=\left\{\begin{array}{cc} \lambda z, & z\leqslant0\\ z, & z> 0 \end{array}\right.$

其中， $\lambda$ 为可变参数，一般 $\lambda\in(0,1)$ ，例如 $\lambda=0.01$ 。

介绍完了这些常用的激活函数之后，考虑如何选择合适的激活函数呢？首先我们来比较Sigmoid函数和tanh函数。对于隐藏层的激活函数，一般来说，tanh函数要比Sigmoid函数表现更好一些。因为tanh函数的取值范围在（-1，+1），即隐藏层的输出被限定在（-1，+1）之间，可以看成是在0值附近分布，均值为0。这样从隐藏层到输出层，数据起到了归一化（均值为0）的效果。因此，隐藏层的激活函数，tanh比Sigmoid更好一些。而对于输出层的激活函数，因为二分类问题的输出取值为[0, 1]之间，所以一般会选择Sigmoid作为激活函数。

观察Sigmoid函数和tanh函数，我们发现有这样一个问题，就是当 $∣ z ∣$ 很大的时候，激活函数的斜率（梯度）很小。因此，在这个区域内，梯度下降算法会运行得比较慢。在实际应用中，应尽量避免使z落在这个区域，使 $∣ z ∣$ 尽可能限定在零值附近，从而提高梯度下降算法运算速度。

为了弥补Sigmoid函数和tanh函数的这个缺陷，就出现了ReLU激活函数。ReLU激活函数在 $z$ 大于零时梯度始终为1；在 $z$ 小于零时梯度始终为0； $z$ 等于零时的梯度可以当成1也可以当成0，实际应用中并不影响。对于隐藏层，选择ReLU作为激活函数能够保证 $z$ 大于零时梯度始终为1，从而提高神经网络梯度下降算法运算速度。但当 $z$ 小于零时，存在梯度为0的缺点。实际应用中，这个缺点影响不是很大，但为了弥补这个缺点，出现了Leaky ReLU激活函数，能够保证 $z$ 小于零时梯度不为0。

值得注意的是，如果是二分类问题，输出层可以使用Sigmoid激活函数。如果是预测问题，输出层则可以不需要使用激活函数，因为预测值一般在整个实数范围之间。又或者，如果输出值总是正数，例如房价预测问题，则可以使用ReLU激活函数。

因此，是否使用激活函数，使用哪个激活函数，并不是固定不变的，需要根据问题本身进行考量和判断，做到活学活用，真正理解。本文为了简化内容，仅仅以二分类为例，介绍神经网络的基本模型。更复杂的情况，后面的章节将会详细介绍。

有的人可能会有疑问：为什么每个神经元需要非线性单元，需要激活函数？以上面这个神经网络模型为例，我们来看如果没有激活函数，模型最后的输出是什么。

假设没有激活函数，则有 $A = Z$ 。那么，神经网络的各层输出为：

$Z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]}$

$A^{[1]}=Z^{[1]}$

$Z^{[2]}=W^{[2]}A^{[1]}+b^{[2]}$

$A^{[2]}=Z^{[2]}$

直接对 $A^{[2]}$ 表达式展开：

$A^{[2]}=W^{[2]}A^{[1]}+b^{[2]}=W^{[2]}(W^{[1]}X+b^{[1]})+b^{[2]}\\=(W^{[2]}W^{[1]}X)+(W^{[2]}b^{[1]}+b^{[2]})=W'X+b'$

经过推导，发现 $A^{[2]}$ 仍是输入变量 $X$ 的线性组合。这表明，使用神经网络与直接使用线性模型的效果并没有什么两样。即便是包含多层隐藏层的神经网络，如果不使用非线性激活函数，最终的输出仍然是输入 $X$ 的线性模型。这样的话神经网络就没有任何作用了。另外，如果只有输出层使用非线性激活函数，那么整个神经网络的结构就类似于一个简单的逻辑回归模型，而失去了神经网络模型本身的优势和价值。因此，隐藏层一般必须使用非线性激活函数。

6.3 神经网络反向传播

神经网络正向传播最终得到的输出 $\hat Y=A^{[2]}$ 。因为是二分类问题，其损失函数与逻辑回归模型一样，在上一篇已经推导过逻辑回归模型的损失函数：

$L=-[ylog\hat y+(1-y)log(1-\hat y)]$

对于 $m$ 个样本的损失函数为：

$J=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^my^{(i)}log\hat y^{(i)}+(1-y^{(i)})log(1-\hat y^{(i)})$

接下来，我们来计算损失函数 $J$ 对各个变量 $A^{[2]}$ ， $Z^{[2]}$ ， $W^{[2]}$ ， $b^{[2]}$ ， $A^{[1]}$ ， $Z^{[1]}$ ， $W^{[1]}$ ， $b^{[1]}$ 的偏导数。

$J$ 对 $A^{[2]}$ 求偏导数：

$dA^{[2]}=\frac{\partial J}{\partial A^{[2]}}=\frac{A^{[2]}-Y}{A^{[2]}(1-A^{[2]})}$

$J$ 对 $Z^{[2]}$ 求偏导数：

$dZ^{[2]}=dA^{[2]}\cdot\frac{\partial A^{[2]}}{\partial Z^{[2]}}$

这里，若使用Sigmoid激活函数，它的导数为：

$g (z)^{'} = a (1 - a)$

则有：

$\frac{\partial A^{[2]}}{\partial Z^{[2]}}=A^{[2]}(1-A^{[2]})$

将其带入 $dZ^{[2]}$ 中，得：

$dZ^{[2]}=\frac{A^{[2]}-Y}{A^{[2]}(1-A^{[2]})}\cdot A^{[2]}(1-A^{[2]})=A^{[2]}-Y$

发现 $dZ^{[2]}$ 的表达式是不是很简单呢？

$J对W^{[2]}$ 求偏导数：

$dW^{[2]}=\frac1m dZ^{[2]}\cdot\frac{\partial Z^{[2]}}{\partial W^{[2]}}=\frac1m dZ^{[2]}\cdot A^{[1]T}$

其中， $A^{[1]T}$ 表示 $A^{[1]}$ 的转置。

$J对b^{[2]}$ 求偏导数：

$db^{[2]}=\frac1mnp.sum(dZ^{[2]},\ \ axis=1)$

这里的np.sum()是Python Numpy中的求和函数，参数axis = 0表示矩阵行相加，axis = 1表示矩阵列相加。

$J$ 对 $A^{[1]}$ 求偏导数：

$dA^{[1]}=dZ^{[2]}\cdot\frac{\partial Z^{[2]}}{\partial A^{[1]}}=W^{[2]T}\cdot dZ^{[2]}$

$J对Z^{[1]}$ 求偏导数：

$dZ^{[1]}=dA^{[1]}\cdot\frac{\partial A^{[1]}}{\partial Z^{[1]}}=dA^{[1]}*g^{[1]'}(Z^{[1]})=W^{[2]T}\cdot dZ^{[2]}*g^{[1]'}(Z^{[1]})$

其中， $g^{[1]'}(Z^{[1]})$ 表示 $A^{[1]}$ 对 $Z^{[1]}$ 的导数。上式中的*号表示两个矩阵对应元素相乘， $\cdot$ 表示矩阵相乘。

$J$ 对 $W^{[1]}$ 求偏导数：

$dW^{[1]}=dZ^{[1]}\cdot\frac{\partial Z^{[1]}}{\partial W^{[1]}}=\frac1mdZ^{[1]}\cdot A^{[0]T}$

$J$ 对 $b^{[1]}$ 求偏导数：

$db^{[1]}=\frac1mnp.sum(dZ^{[1]},\ \ axis=1)$

好了，我们已经完整地推导了神经网络反向传播过程。

我把正向传播和反向传播涉及的公式全都整理出来，以供查阅：

在这里插入图片描述
计算完 $W$ 和 $b$ 的导数之后，利用上一篇介绍过的梯度下降算法，更新 $W$ 和 $b$ ：

$W^{[1]}=W^{[1]}-\eta\cdot dW^{[1]}$

$b^{[1]}=b^{[1]}-\eta\cdot db^{[1]}$

$W^{[2]}=W^{[2]}-\eta\cdot dW^{[2]}$

$b^{[2]}=b^{[2]}-\eta\cdot db^{[2]}$

其中， $\eta$ 是学习因子。

6.4 W和b的初始化

神经网络模型在开始训练时需要对各层权重系数 $W$ 和常数项 $b$ 进行初始化赋值。初始化赋值时， $b$ 一般全部初始化为0即可，但是 $W$ 不能全部初始化为0。接下来我们来分析一下原因。

还是上面的神经网络模型，如果 $W^{[1]}$ 和 $W^{[2]}$ 全部初始化为0，即：

$W^{[1]}= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]$

$W^{[2]}= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]$

这样使得隐藏层四个神经元的输出都相同，即：

$A_1^{[1]}=A_2^{[1]}=A_3^{[1]}=A_4^{[1]}$

经过推导得到：

$dZ_1^{[1]}=dZ_2^{[1]}=dZ_3^{[1]}=dZ_4^{[1]}$

以及：

$dW_1^{[1]}=dW_2^{[1]}=dW_3^{[1]}=dW_4^{[1]}$

因此，隐藏层四个神经元对应的权重行向量 $W_1^{[1]}$ 、 $W_2^{[1]}$ 、 $W_3^{[1]}$ 、 $W_4^{[1]}$ 每次迭代更新都会得到完全相同的结果。也就是说，始终有：

$W_1^{[1]}=W_2^{[1]}=W_3^{[1]}=W_4^{[1]}$

这样隐藏层设置多个神经元就没有任何意义了。

所以，一般对 $W$ 进行随机初始化。相应的Python语句为：

W1 = np.random.randn((4,3))*0.01
b1 = np.zero((4,1))
W2 = np.random.randn((1,4))*0.01
b2 = 0

值得注意的是，W1和W2都习惯性地乘以0.01。究其原因，是因为如果使用Sigmoid或者tanh作为激活函数的话， $W$ 比较小，得到的 $∣ Z ∣$ 也比较小（零点附近），而零点附近区域的梯度比较大，这样能大大提高梯度下降算法的更新速度，尽快找到全局最优解。如果 $W$ 较大，得到的 $∣ Z ∣$ 也比较大，接近曲线平缓区域，梯度很小，更新速度慢，训练过程也会慢很多。当然，如果使用ReLU或者Leaky ReLU，则可以不乘以0.01。