AcWing算法进阶课-1.9.1Dinic/ISAP求最小割

题目描述

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，并给定每条边的容量，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环。求从点 $S$ 到点 $T$ 的最小割。

输入格式

第一行包含四个整数 $n, m, S, T$ 。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u, v, c$ ，表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边，容量为 $c$ 。

点的编号从 $1$ 到 $n$ 。

输出格式

输出点 $S$ 到点 $T$ 的最小割。

如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 $0$ 。

数据范围

$\le n \le 10000$ ,
$\le m \le 100000$ ,
$\le c \le 10000$ ,
$\neq T$

思路

最大流最小割定理

对于任意一个流网络 $G = (V, E)$ 都满足：

可行流 $f$ 是最大流。

$\Leftrightarrow$

可行流 $f$ 的残量网络中不存在增广路。

$\Leftrightarrow$

$\exist [\text S,\text T],|f|=c(\text S,\text T)$ 。

证明：

$1\Rightarrow 2$ ：反证法。假设 $f$ 是最大流，且 $G_f$ 存在增广路径。这说明 $G_f$ 存在至少一个流量大于 $0$ 的可行流 $f^{'}$ 。这样能构造出原网络中另一个可行流 $f + f^{'}$ ，且 $∣ f + f^{'} ∣ > ∣ f ∣$ ，说明 $f$ 不是最大流，与假设矛盾。
$2\Rightarrow 3$ ：构造一个割，使得它在残量网络中不存在增广路径，且 $|f|=c(\text S,\text T)$ 。定义集合 $\text S$ 为在 $G_f$ 中从 $S$ 出发，沿容量大于 $0$ 的边走能走到的所有的点。由于残量网络中不存在增广路径，所以集合 $\text S$ 中不可能包含 $T$ 。在定义集合 $\text T = \text V - \text S$ ，即为构造的合法割。对于正向边 $(u,v)[u\in \text S,v\in \text T]$ ，由于 $u, v$ 不相通，所以 $f^{'} (u, v) = 0$ ，所以 $f (u, v) = c (u, v)$ 。对于反向边 $(u,v)[u\in \text T,v\in \text S]$ 同理， $c^{'} (v, u) = 0$ ，即 $f (u, v) = 0$ 。发现原网络中 $\forall (u,v)(u\in\text S,v\in\text T)$ ，都有 $f (u, v) = c (u, v), f (v, u) = 0$ 。因此 $|f|=f(\text S,\text T)=\sum_{u\in\text S}\sum_{v\in\text T}f(u,v)-\sum_{u\in\text S}\sum_{v\in\text T}f(v,u)=\sum_{u\in\text S}\sum_{v\in\text T}f(u,v)=\sum_{u\in\text S}\sum_{v\in\text T}c(u,v)=c(\text S,\text T)$ 。
$3\Rightarrow 1$ ：由本文最小割的推论中已知 $|f|≤c(\text S,\text T)$ ，且最大流是可行流的一种，所以最大流 $\leq c(\text S,\text T)$ 。易知 $|f|\leq$ 最大流，而 $|f|=c(\text S,\text T)\geq$ 最大流。即 $|f|\geq$ 最大流。综上得出 $∣ f ∣ =$ 最大流。已证最大流 $\leq$ 最小割，而最小割又是割的容量的最小值，得出最小割 $\leq c(\text S,\text T)=|f|\leq$ 最大流，即最小割 $\leq$ 最大流，最终得出最大流 = 最小割。

因此要求最小割，只需求原图的最大流即可。

Dinic 算法其实是 EK 算法的一个暴力的优化，EK 算法每次只能搜索一条增广路径，而 Dinic 算法每次都用 DFS 的形式尽可能多的搜索增广路径。

而图中可能存在环，为了保证 DFS 的过程中不会造成死循环，这里可以使用分层图，这样每次都是一层一层往下搜索，就不会出现死循环。

BFS 建立分层图
DFS 找出所有能增广的路径
累加最大流量

注意： Dinic 算法对于优化非常敏感，如果优化的不好就可能直接 TLE

算法时间复杂度 $O(n^2m)$

`AC Code`

$\text{C}++$

#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 10010, M = 200010;
const int INF = 1e9;int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int d[N], q[N], cur[N];
// d[] 存分层图中每个点的深度
// q[] 手写队列
// cur[] 当前弧优化inline void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ; // 正向边e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ; // 反向边，用于反悔
}bool bfs()
{memset(d, -1, sizeof d); // 记得初始化int hh = 0, tt = 0;q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];// 将源点加入队列，源点深度为0，初始化源点当前弧为表头while (hh <= tt){int t = q[hh ++ ];for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if (d[j] == -1 && f[i]) // 存在增广路才能从这里分层{d[j] = d[t] + 1; // 更新深度cur[j] = h[j]; // 所有点当前弧最开始都是表头if (j == T) return true; // 如果找到汇点了就说明有增广路q[ ++ tt] = j;}}}return false; // 没有增广路
}int find(int u, int lim) // DFS，u是当前点，lim是u之前的路径能流过的最大值
{if (u == T) return lim; // 如果已经流到汇点了就返回这个最大值int flow = 0; // 当前往下流的流量for (int i = cur[u]; ~i && flow < lim; cur[u] = i, i = ne[i])// 注意应从当前弧开始遍历，并且每次要更新。没有剩余流量也应该退出{int j = e[i];if (d[j] == d[u] + 1 && f[i])// 按分层图遍历，防止死循环{int t = find(j, min(f[i], lim - flow));// 找到后面能流的最大值if (!t) d[j] = -1;// 如果没有流量那么说明后面没有增广路了，这个点不会用到，将深度设为-1f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;// 当前边减流量，反向边加流量，实际流量加流量}}return flow;
}int dinic()
{int r = 0, flow = 0;while (bfs()) while ((flow = find(S, INF))) r += flow;// 只要存在增广路就一直DFS，直到DFS出的流量为0return r;
}int main()
{int a, b, c;memset(h, -1, sizeof h);scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);while (m -- ){scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);add(a, b, c);}printf("%d\n", dinic());return 0;
}