Chapter3 Linear Neural Networks
3.1 Linear Regression
3.1.1 Basic Concepts
我们通常使用 n n n来表示数据集中的样本数。对索引为 i i i的样本，其输入表示为 x ( i ) = [ x 1 ( i ) , x 2 ( i ) , . . . , x n ( i ) ] ⊤ \mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)},...,x_n^{(i)}]^\top x(i)=[x1(i),x2(i),...,xn(i)]⊤，其对应的标签是 y ( i ) y^{(i)} y(i)。
3.1.1.1 Linear Model
在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含 d d d个特征时，我们将预测结果 y ^ \hat{y} y^（通常使用“尖角”符号表示 y y y的估计值）表示为：
y ^ = w 1 x 1 + . . . + w d x d + b . \hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b. y^=w1x1+...+wdxd+b.
将所有特征放到向量 x ∈ R d \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d x∈Rd中，并将所有权重放到向量 w ∈ R d \mathbf{w} \in \mathbb{R}^d w∈Rd中，我们可以用点积形式来简洁地表达模型：
y ^ = w ⊤ x + b (1) \hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b \tag{1} y^=w⊤x+b(1)
在式(1)中，向量 x \mathbf{x} x对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵 X ∈ R n × d \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d} X∈Rn×d可以很方便地引用我们整个数据集的 n n n个样本。其中， X \mathbf{X} X的每一行是一个样本，每一列是一种特征。对于特征集合 X \mathbf{X} X，预测值 y ^ ∈ R n \hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n y^∈Rn可以通过矩阵-向量乘法表示为：
y ^ = X w + b {\hat{\mathbf{y}}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + b y^=Xw+b
给定训练数据特征 X \mathbf{X} X和对应的已知标签 y \mathbf{y} y，线性回归的目标是找到一组权重向量 w \mathbf{w} w和偏置 b b b：当给定从 X \mathbf{X} X的同分布中取样的新样本特征时，这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。
虽然我们相信给定 x \mathbf{x} x预测 y y y的最佳模型会是线性的，但我们很难找到一个有 n n n个样本的真实数据集，其中对于所有的 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n， y ( i ) y^{(i)} y(i)完全等于 w ⊤ x ( i ) + b \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)}+b w⊤x(i)+b。无论我们使用什么手段来观察特征 X \mathbf{X} X和标签 y \mathbf{y} y，都可能会出现少量的观测误差。因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。
在开始寻找最好的模型参数（model parameters w \mathbf{w} w和 b b b之前，
我们还需要两个东西：
- 一种模型质量的度量方式；
- 一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。
3.1.1.2 Loss Function
在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。
损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本 i i i的预测值为 y ^ ( i ) \hat{y}^{(i)} y^(i)，其相应的真实标签为 y ( i ) y^{(i)} y(i)时，
平方误差可以定义为以下公式：
l ( i ) ( w , b ) = 1 2 ( y ^ ( i ) − y ( i ) ) 2 . l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2. l(i)(w,b)=21(y^(i)−y(i))2.
常数 1 2 \frac{1}{2} 21不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些（因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。由于平方误差函数中的二次方项，估计值 y ^ ( i ) \hat{y}^{(i)} y^(i)和观测值 y ( i ) y^{(i)} y(i)之间较大的差异将导致更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集 n n n个样本上的损失均值（也等价于求和）。
L ( w , b ) = 1 n ∑ i = 1 n l ( i ) ( w , b ) = 1 n ∑ i = 1 n 1 2 ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) 2 . L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2. L(w,b)=n1i=1∑nl(i)(w,b)=n1i=1∑n21(w⊤x(i)+b−y(i))2.
在训练模型时，我们希望寻找一组参数（ w ∗ , b ∗ \mathbf{w}^*, b^* w∗,b∗），这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：
w ∗ , b ∗ = argmin w , b L ( w , b ) . \mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b). w∗,b∗=w,bargmin L(w,b).
3.1.1.3 Analytical Solution
线性回归有解析解（analytical solution）。首先，我们将偏置 b b b合并到参数 w \mathbf{w} w中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化 ∥ y − X w ∥ 2 \|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2 ∥y−Xw∥2。这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。将损失关于 w \mathbf{w} w的导数设为0，即
X ⊤ X w = X ⊤ y \mathbf X^\top \mathbf{X}\mathbf{w}=\mathbf X^\top \mathbf{y} X⊤Xw=X⊤y
得到解析解：
w ∗ = ( X ⊤ X ) − 1 X ⊤ y \mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y} w∗=(X⊤X)−1X⊤y
像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。
3.1.1.4 Stochastic Gradient Descent
我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。
梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。
在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量 B \mathcal{B} B，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数 η \eta η，并从当前参数的值中减掉。
我们用下面的数学公式来表示这一更新过程，其中 w \mathbf{w} w和 x \mathbf{x} x都是向量, ∣ B ∣ |\mathcal{B}| ∣B∣表示每个小批量中的样本数，称为批量大小（batch size）。
η \eta η表示学习率（learning rate）。
( w , b ) ← ( w , b ) − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ ( w , b ) l ( i ) ( w , b ) . (\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b). (w,b)←(w,b)−∣B∣ηi∈B∑∂(w,b)l(i)(w,b).
总而言之，算法的步骤如下：
（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；
（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。
对于平方损失和仿射变换，可以写成如下形式:
w ← w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ w l ( i ) ( w , b ) = w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) (关于 w 的偏导) b ← b − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ b l ( i ) ( w , b ) = b − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) (关于 b 的偏导) \begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right) \text{ (关于$\mathbf{w}$的偏导)}\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right) \text{ (关于$b$的偏导)} \end{aligned} wb←w−∣B∣ηi∈B∑∂wl(i)(w,b)=w−∣B∣ηi∈B∑x(i)(w⊤x(i)+b−y(i)) (关于w的偏导)←b−∣B∣ηi∈B∑∂bl(i)(w,b)=b−∣B∣ηi∈B∑(w⊤x(i)+b−y(i)) (关于b的偏导)
批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。
在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为 w ^ , b ^ \hat{\mathbf{w}}, \hat{b} w^,b^。但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。
线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题,但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失,这一挑战被称为泛化（generalization）。
3.1.1.5 Using Models for Prediction
给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。但在统计学中，推断更多地表示基于数据集估计参数。
3.1.2 Vectorization Acceleration
在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环，即使用：
n = 10000
a = torch.ones([n])
b = torch.ones([n])
c=a+b
而不是：
c = torch.zeros(n)
for i in range(n):c[i] = a[i] + b[i]
3.1.3 Normal Distribution and Squared Loss
噪声正态分布如下式:
y = w ⊤ x + b + ϵ , y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon, y=w⊤x+b+ϵ,
其中， ϵ ∼ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) ϵ∼N(0,σ2)。
因此，我们现在可以写出通过给定的 x \mathbf{x} x观测到特定 y y y的似然（likelihood）：
P ( y ∣ x ) = 1 2 π σ 2 exp ( − 1 2 σ 2 ( y − w ⊤ x − b ) 2 ) . P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right). P(y∣x)=2πσ21exp(−2σ21(y−w⊤x−b)2).
现在，根据极大似然估计法，参数 w \mathbf{w} w和 b b b的最优值是使整个数据集的似然最大的值：
P ( y ∣ X ) = ∏ i = 1 n p ( y ( i ) ∣ x ( i ) ) . P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}). P(y∣X)=i=1∏np(y(i)∣x(i)).
根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为最小化负对数似然 − log P ( y ∣ X ) -\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) −logP(y∣X)。由此可以得到的数学公式是：
− log P ( y ∣ X ) = ∑ i = 1 n 1 2 log ( 2 π σ 2 ) + 1 2 σ 2 ( y ( i ) − w ⊤ x ( i ) − b ) 2 . -\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2. −logP(y∣X)=i=1∑n21log(2πσ2)+2σ21(y(i)−w⊤x(i)−b)2.
现在我们只需要假设 σ \sigma σ是某个固定常数就可以忽略第一项，现在第二项除了常数 1 σ 2 \frac{1}{\sigma^2} σ21外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。
3.1.4 From Linear Regression to Deep Networks
我们可以用描述神经网络的方式来描述线性模型，从而把线性模型看作一个神经网络。
首先，我们用“层”符号来重写这个模型。深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。我们将线性回归模型描述为一个神经网络。需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。
在图中所示的神经网络中，输入为 x 1 , … , x d x_1, \ldots, x_d x1,…,xd，因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为 d d d。网络的输出为 o 1 o_1 o1，因此输出层中的输出数是1。需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。也就是说，图中神经网络的层数为1。我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，我们将这种变换（ 图中的输出层）称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。
