C++力扣题目377--组合求和VI 爬楼梯进阶版 322--零钱兑换 279完全平方数

377. 组合总和 Ⅳ

力扣题目链接(opens new window)

难度:中等

给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组,找出和为给定目标正整数的组合的个数。

示例:

  • nums = [1, 2, 3]
  • target = 4

所有可能的组合为: (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)

请注意,顺序不同的序列被视作不同的组合。

因此输出为 7。

#思路

对完全背包还不了解的同学,可以看这篇:动态规划:关于完全背包,你该了解这些!(opens new window)

本题题目描述说是求组合,但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合,其实就是求排列!

弄清什么是组合,什么是排列很重要。

组合不强调顺序,(1,5)和(5,1)是同一个组合。

排列强调顺序,(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

大家在公众号里学习回溯算法专题的时候,一定做过这两道题目回溯算法:39.组合总和 (opens new window)和回溯算法:40.组合总和II (opens new window)会感觉这两题和本题很像!

但其本质是本题求的是排列总和,而且仅仅是求排列总和的个数,并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话,只能使用回溯算法爆搜

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

  1. 确定递推公式

dp[i](考虑nums[j])可以由 dp[i - nums[j]](不考虑nums[j]) 推导出来。

因为只要得到nums[j],排列个数dp[i - nums[j]],就是dp[i]的一部分。

在动态规划:494.目标和 (opens new window)和 动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)中我们已经讲过了,求装满背包有几种方法,递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题也一样。

  1. dp数组如何初始化

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故,dp[0]要初始化为1,这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

至于dp[0] = 1 有没有意义呢?

其实没有意义,所以我也不去强行解释它的意义了,因为题目中也说了:给定目标值是正整数! 所以dp[0] = 1是没有意义的,仅仅是为了推导递推公式。

至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢?

初始化为0,这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

  1. 确定遍历顺序

个数可以不限使用,说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列,说明需要考虑元素之间的顺序。

本题要求的是排列,那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。

在动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)中就已经讲过了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

如果把遍历nums(物品)放在外循环,遍历target的作为内循环的话,举一个例子:计算dp[4]的时候,结果集只有 {1,3} 这样的集合,不会有{3,1}这样的集合,因为nums遍历放在外层,3只能出现在1后面!

所以本题遍历顺序最终遍历顺序:target(背包)放在外循环,将nums(物品)放在内循环,内循环从前到后遍历

  1. 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下:

377.组合总和Ⅳ

如果代码运行处的结果不是想要的结果,就把dp[i]都打出来,看看和我们推导的一不一样。

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {dp[i] += dp[i - nums[j]];}}}return dp[target];}
};

  • 时间复杂度: O(target * n),其中 n 为 nums 的长度
  • 空间复杂度: O(target)

C++测试用例有两个数相加超过int的数据,所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

但java就不用考虑这个限制,java里的int也是四个字节吧,也有可能leetcode后台对不同语言的测试数据不一样。

#总结

求装满背包有几种方法,递归公式都是一样的,没有什么差别,但关键在于遍历顺序!

本题与动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)就是一个鲜明的对比,一个是求排列,一个是求组合,遍历顺序完全不同。

如果对遍历顺序没有深度理解的话,做这种完全背包的题目会很懵逼,即使题目刷过了可能也不太清楚具体是怎么过的。

此时大家应该对动态规划中的遍历顺序又有更深的理解了。

 

70. 爬楼梯(进阶版)

卡码网:57. 爬楼梯(opens new window)

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

注意:给定 n 是一个正整数。

输入描述:输入共一行,包含两个正整数,分别表示n, m

输出描述:输出一个整数,表示爬到楼顶的方法数。

输入示例:3 2

输出示例:3

提示:

当 m = 2,n = 3 时,n = 3 这表示一共有三个台阶,m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。

此时你有三种方法可以爬到楼顶。

  • 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
  • 1 阶 + 2 阶
  • 2 阶 + 1 阶

#思路

之前讲这道题目的时候,因为还没有讲背包问题,所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法(斐波那契)。

这次终于讲到了背包问题,我选择带录友们再爬一次楼梯!

这道题目 我们在动态规划:爬楼梯 (opens new window)中已经讲过一次了,这次我又给本题加点料,力扣上没有原题,所以可以在卡码网57. 爬楼梯 (opens new window)上来刷这道题目。

我们之前做的 爬楼梯 是只能至多爬两个台阶。

这次改为:一步一个台阶,两个台阶,三个台阶,.......,直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

这又有难度了,这其实是一个完全背包问题。

1阶,2阶,.... m阶就是物品,楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用,例如跳了1阶,还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了!

和昨天的题目动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)基本就是一道题了。

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]:爬到有i个台阶的楼顶,有dp[i]种方法

  1. 确定递推公式

在动态规划:494.目标和 (opens new window)、 动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)、动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)中我们都讲过了,求装满背包有几种方法,递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题呢,dp[i]有几种来源,dp[i - 1],dp[i - 2],dp[i - 3] 等等,即:dp[i - j]

那么递推公式为:dp[i] += dp[i - j]

  1. dp数组如何初始化

既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j],那么dp[0] 一定为1,dp[0]是递归中一切数值的基础所在,如果dp[0]是0的话,其他数值都是0了。

下标非0的dp[i]初始化为0,因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的,dp[i]本身为0这样才不会影响结果

  1. 确定遍历顺序

这是背包里求排列问题,即:1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶,但是这两种方法不一样!

所以需将target放在外循环,将nums放在内循环。

每一步可以走多次,这是完全背包,内循环需要从前向后遍历。

  1. 举例来推导dp数组

介于本题和动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)几乎是一样的,这里我就不再重复举例了。

以上分析完毕,C++代码如下:

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {int n, m;while (cin >> n >> m) {vector<int> dp(n + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];}}cout << dp[n] << endl;}
}

  • 时间复杂度: O(n * m)
  • 空间复杂度: O(n)

代码中m表示最多可以爬m个台阶,代码中把m改成2就是 力扣:70.爬楼梯的解题思路。

当然注意 力扣是 核心代码模式,卡码网是ACM模式

#总结

本题看起来是一道简单题目,稍稍进阶一下其实就是一个完全背包!

如果我来面试的话,我就会先给候选人出一个 本题原题,看其表现,如果顺利写出来,进而在要求每次可以爬[1 - m]个台阶应该怎么写。

顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序,为什么target放外面,nums放里面。

这就能考察对背包问题本质的掌握程度,候选人是不是刷题背公式,一眼就看出来了。

这么一连套下来,如果候选人都能答出来,相信任何一位面试官都是非常满意的。

本题代码不长,题目也很普通,但稍稍一进阶就可以考察完全背包,而且题目进阶的内容在leetcode上并没有原题,一定程度上就可以排除掉刷题党了,简直是面试题目的绝佳选择!

 

322. 零钱兑换

力扣题目链接(opens new window)

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1:

  • 输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
  • 输出:3
  • 解释:11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

  • 输入:coins = [2], amount = 3
  • 输出:-1

示例 3:

  • 输入:coins = [1], amount = 0
  • 输出:0

示例 4:

  • 输入:coins = [1], amount = 1
  • 输出:1

示例 5:

  • 输入:coins = [1], amount = 2
  • 输出:2

提示:

  • 1 <= coins.length <= 12
  • 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
  • 0 <= amount <= 10^4

#思路

在动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)中我们已经兑换一次零钱了,这次又要兑换,套路不一样!

题目中说每种硬币的数量是无限的,可以看出是典型的完全背包问题。

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]:凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

  1. 确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]],那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j](考虑coins[i])

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式:dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

  1. dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0,那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢?

考虑到递推公式的特性,dp[j]必须初始化为一个最大的数,否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

代码如下:

vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

  1. 确定遍历顺序

本题求钱币最小个数,那么钱币有顺序和没有顺序都可以,都不影响钱币的最小个数

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划:518.零钱兑换II (opens new window),求排列数是动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)。

所以本题的两个for循环的关系是:外层for循环遍历物品,内层for遍历背包或者外层for遍历背包,内层for循环遍历物品都是可以的!

那么我采用coins放在外循环,target在内循环的方式。

本题钱币数量可以无限使用,那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

综上所述,遍历顺序为:coins(物品)放在外循环,target(背包)在内循环。且内循环正序。

  1. 举例推导dp数组

以输入:coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

322.零钱兑换

dp[amount]为最终结果。

以上分析完毕,C++ 代码如下:

// 版本一
class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);}}}if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};

  • 时间复杂度: O(n * amount),其中 n 为 coins 的长度
  • 空间复杂度: O(amount)

对于遍历方式遍历背包放在外循环,遍历物品放在内循环也是可以的,我就直接给出代码了

// 版本二
class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 1; i <= amount; i++) {  // 遍历背包for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);}}}if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};

  • 同上

#总结

细心的同学看网上的题解,可能看一篇是遍历背包的for循环放外面,看一篇又是遍历背包的for循环放里面,看多了都看晕了,到底两个for循环应该是什么先后关系。

能把遍历顺序讲明白的文章几乎找不到!

这也是大多数同学学习动态规划的苦恼所在,有的时候递推公式很简单,难在遍历顺序上!

但最终又可以稀里糊涂的把题目过了,也不知道为什么这样可以过,反正就是过了。

那么这篇文章就把遍历顺序分析的清清楚楚。

动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)中求的是组合数,动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)中求的是排列数。

而本题是要求最少硬币数量,硬币是组合数还是排列数都无所谓!所以两个for循环先后顺序怎样都可以!

这也是我为什么要先讲518.零钱兑换II 然后再讲本题即:322.零钱兑换,这是Carl的良苦用心那。

相信大家看完之后,对背包问题中的遍历顺序有更深的理解了。

 

279.完全平方数

力扣题目链接(opens new window)

给定正整数 n,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...)使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ,返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,而 3 和 11 不是。

示例 1:

  • 输入:n = 12
  • 输出:3
  • 解释:12 = 4 + 4 + 4

示例 2:

  • 输入:n = 13
  • 输出:2
  • 解释:13 = 4 + 9

提示:

  • 1 <= n <= 10^4

#思路

可能刚看这种题感觉没啥思路,又平方和的,又最小数的。

我来把题目翻译一下:完全平方数就是物品(可以无限件使用),凑个正整数n就是背包,问凑满这个背包最少有多少物品?

感受出来了没,这么浓厚的完全背包氛围,而且和昨天的题目动态规划:322. 零钱兑换 (opens new window)就是一样一样的!

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[j]:和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

  1. 确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出, dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j],所以递推公式:dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

  1. dp数组如何初始化

dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量,那么dp[0]一定是0。

有同学问题,那0 * 0 也算是一种啊,为啥dp[0] 就是 0呢?

看题目描述,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...),题目描述中可没说要从0开始,dp[0]=0完全是为了递推公式。

非0下标的dp[j]应该是多少呢?

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的,所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值,这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖

  1. 确定遍历顺序

我们知道这是完全背包,

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。

在动态规划:322. 零钱兑换 (opens new window)中我们就深入探讨了这个问题,本题也是一样的,是求最小数!

所以本题外层for遍历背包,内层for遍历物品,还是外层for遍历物品,内层for遍历背包,都是可以的!

我这里先给出外层遍历背包,内层遍历物品的代码:

vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);}
}

  1. 举例推导dp数组

已输入n为5例,dp状态图如下:

279.完全平方数

dp[0] = 0 dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1 dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2 dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3 dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1 dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2

最后的dp[n]为最终结果。

以上动规五部曲分析完毕C++代码如下:

// 版本一
class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);}}return dp[n];}
};

  • 时间复杂度: O(n * √n)
  • 空间复杂度: O(n)

同样我在给出先遍历物品,在遍历背包的代码,一样的可以AC的。

// 版本二
class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);}}return dp[n];}
};

  • 同上

#总结

如果大家认真做了昨天的题目动态规划:322. 零钱兑换 (opens new window),今天这道就非常简单了,一样的套路一样的味道。

但如果没有按照「代码随想录」的题目顺序来做的话,做动态规划或者做背包问题,上来就做这道题,那还是挺难的!

经过前面的训练这道题已经是简单题了

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1 内核概述 内核简介 用户最常见到并与之交互的操作系统界面&#xff0c;其实只是操作系统最外面的一层。操作系统最重要的任务&#xff0c;包括管理硬件设备&#xff0c;分配系统资源等&#xff0c;我们称之为操作系统内在最重要的核心功能。而实现这些核心功能的操作系统模…

VS编译器对scanf函数不安全报错的解决办法(详细步骤)

&#x1f4da;博客主页&#xff1a;爱敲代码的小杨. ✨专栏&#xff1a;《Java SE语法》 | 《数据结构与算法》 | 《C生万物》 ❤️感谢大家点赞&#x1f44d;&#x1f3fb;收藏⭐评论✍&#x1f3fb;&#xff0c;您的三连就是我持续更新的动力❤️ &#x1f64f;小杨水平有…