算法系列之排序算法-堆排序

在数据结构中，堆（Heap）是一种特殊的树形数据结构，通常用于实现优先队列。堆分为最大堆和最小堆两种类型。最大堆的每个节点的值都大于或等于其子节点的值，而最小堆的每个节点的值都小于或等于其子节点的值。Java 提供了 PriorityQueue 类来实现堆的功能。

堆的介绍

堆(Heap)是一种满足特定条件的完全二叉树，主要分为两种：如下图所示：

小顶堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
大顶堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值。

特性：

最底层的节点靠左填充，其它层的节点都被填满
根节点称为堆顶,最底层最靠右的节点称为堆底
堆的根节点（堆顶）是堆中最大（大顶堆）或最小(小顶堆)的元素。

堆的存储

堆通常使用数组来存储。对于一个索引为 i 的节点：

其左子节点的索引为 2i + 1
其右子节点的索引为 2i + 2
其父节点的索引为 (i - 1) / 2

堆的操作及效率

java中提供的是优先队列（PriorityQueue）

方法名	描述	时间复杂度
add()	元素入堆	O(log n)
poll()	堆顶元素出堆	O(log n)
peek()	访问堆顶元素	O(1)
size()	获取堆中元素的数量	O(1)
isEmpty()	堆是否为空	O(1)

堆排序

堆排序（Heap Sort）是一种基于堆数据结构的比较排序算法。它的时间复杂度为 $O (n l o g n)$ ，并且是一种原地排序算法（即不需要额外的存储空间）。堆排序的核心思想是利用堆的性质来维护一个最大堆或最小堆，然后逐步将堆顶元素（最大值或最小值）取出，放到数组的末尾，最终得到一个有序的数组。

堆排序的基本步骤

构建最大堆

从最后一个非叶子节点开始，向前遍历每个节点，对每个节点执行堆化操作。

最后一个非叶子节点的索引为 n/2 - 1，其中 n 是数组的长度。

排序

将堆顶元素（最大值）与堆的最后一个元素交换。(出堆)

将堆的大小减一（即忽略最后一个元素）。

对新的堆顶元素执行堆化操作，以维持最大堆的性质。

重复上述步骤，直到堆的大小为1。

代码实现如下：

/*** 堆排序*/
public class HeapSort {public static void heapSort(int[] arr) {int n = arr.length;//  构建大顶堆for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {heapify(arr, n, i);}// 2. 排序for (int i = n - 1; i > 0; i--) {// 将堆顶元素（最大值）与当前堆的最后一个元素交换int temp = arr[0];arr[0] = arr[i];arr[i] = temp;// 对新的堆顶元素进行堆化操作heapify(arr, i, 0);}}//堆化操作public static void heapify(int[] arr,int n,int i){int max = i; // 初始化最大值为当前节点int left = 2 * i + 1; // 左子节点int right = 2 * i + 2; // 右子节点// 如果左子节点大于当前最大值，则更新最大值if (left < n && arr[left] > arr[max]) {max = left;}// 如果右子节点大于当前最大值，则更新最大值if (right < n && arr[right] > arr[max]) {max = right;}// 如果最大值不是当前节点，则交换并继续堆化if (max != i) {int swap = arr[i];arr[i] = arr[max];arr[max] = swap;// 递归地对子树进行堆化heapify(arr, n, max);}}public static void main(String[] args) {int[] arr = {8, 10, 7, 4, 6, 2, 5, 1};heapSort(arr);System.out.println(Arrays.toString(arr));}
}