LeetCode 2673. 使二叉树所有路径值相等的最小代价【贪心】1917

本文属于「征服LeetCode」系列文章之一,这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁,本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止;由于LeetCode还在不断地创建新题,本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中,我不仅会讲解多种解题思路及其优化,还会用多种编程语言实现题解,涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。 为了方便在PC上运行调试、分享代码文件,我还建立了相关的仓库:https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中,你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等,还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解,还可以一同分享给他人。 由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动,欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。

给你一个整数 n 表示一棵 满二叉树 里面节点的数目,节点编号从 1 到 n 。根节点编号为 1 ,树中每个非叶子节点 i 都有两个孩子,分别是左孩子 2 * i 和右孩子 2 * i + 1 。

树中每个节点都有一个值,用下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 cost 表示,其中 cost[i] 是第 i + 1 个节点的值。每次操作,你可以将树中 任意 节点的值 增加 1 。你可以执行操作 任意 次。

你的目标是让根到每一个 叶子结点 的路径值相等。请你返回 最少 需要执行增加操作多少次。

注意:

  • 满二叉树 指的是一棵树,它满足树中除了叶子节点外每个节点都恰好有 2 个子节点,且所有叶子节点距离根节点距离相同。
  • 路径值 指的是路径上所有节点的值之和。

示例 1:

输入:n = 7, cost = [1,5,2,2,3,3,1]
输出:6
解释:我们执行以下的增加操作:
- 将节点 4 的值增加一次。
- 将节点 3 的值增加三次。
- 将节点 7 的值增加两次。
从根到叶子的每一条路径值都为 9 。
总共增加次数为 1 + 3 + 2 = 6 。
这是最小的答案。

示例 2:

输入:n = 3, cost = [5,3,3]
输出:0
解释:两条路径已经有相等的路径值,所以不需要执行任何增加操作。

提示:

  • 3 <= n <= 10^5
  • n + 1 是 2 的幂
  • cost.length == n
  • 1 <= cost[i] <= 10^4

解法 贪心

提示 1
考虑根到两个互为兄弟节点(父节点相同)的叶子的两条路径。

由于这两条路径除了叶子节点不一样,其余节点都一样,所以为了让这两条路径的路径和相等,必须修改叶子节点的值

设叶子节点的值分别为 x x x y y y ,假设 x ≤ y x\le y xy ,是否需要同时增加 x x x y y y 呢?

让这两条路径相等,同时修改 x , y x, y x,y 毫无疑问是不必要的。即使考虑到要和其他路径相等,这也是不需要的,我们只用把 x x x 增加 y − x y-x yx 就行,因为我们可以==增加它们的祖先节点的值,使它们俩的路径和与其它的路径和相等==,这样可以节省操作次数。

提示 2
对于不是叶子的兄弟节点,又要如何比较和计算呢?

和上面的分析一样,从根到当前节点的路径,除了这两个兄弟节点不一样,其余节点都一样。所以把路径和从叶子往上传,这样就可以按照提示 1 那样比较了。

示例 1 如下图,把节点 2 2 2 的路径和视作 x + 5 + 3 = x + 8 x+5+3=x+8 x+5+3=x+8 ,节点 3 3 3 的路径和视作 x + 2 + 3 = x + 5 x+2+3=x+5 x+2+3=x+5(其中 x x x 是在节点 2 , 3 2,3 2,3 之上的路径和,是等同的),这样可以知道需要把节点 3 3 3 的值增加 ( x + 8 ) − ( x + 5 ) = 8 − 5 = 3 (x+8)−(x+5)=8−5=3 (x+8)(x+5)=85=3

代码实现时,可以直接在 cost \textit{cost} cost 上累加路径和。由于 cost \textit{cost} cost 数组的下标是从 0 0 0 开始的,所以节点编号转成下标需要减一。

/*** @param {number} n* @param {number[]} cost* @return {number}*/
var minIncrements = function(n, cost) {let ans = 0;for (let i = Math.floor(n / 2); i > 0; i--) { // 从最后一个非叶节点开始算ans += Math.abs(cost[i * 2 - 1] - cost[i * 2]); // 两个子结点变成一样大小cost[i - 1] += Math.max(cost[i * 2 - 1], cost[i * 2]); // 累加路径和}return ans;
};

复杂度分析:

  • 时间复杂度: O ( n ) \mathcal{O}(n) O(n) ,其中 n n n cost \textit{cost} cost 的长度。
  • 空间复杂度: O ( 1 ) \mathcal{O}(1) O(1) 。仅用到若干额外变量。

思考题:如果还可以对节点值减一要怎么做?

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