一、基本思想

        MDS（Multidimensional Scaling ，MDS多维尺度变换）是一种经典的降维算法，其基本思想是通过保持数据点之间的距离关系，将高维数据映射到低维空间中。

具体来说，MDS算法的基本步骤如下：

1、构建距离矩阵：首先，我们需要计算原始空间中数据点之间的距离。常用的距离度量方法包括欧几里得距离、Minkowski距离等。通过计算每对数据点之间的距离，我们可以构建一个距离矩阵。
2、中心化距离矩阵：为了进一步处理距离矩阵，我们需要对其进行中心化处理，使得数据点相对于原点对称。
3、计算内积矩阵：通过中心化距离矩阵，我们可以计算内积矩阵B。内积矩阵表示数据点之间的内积关系，可以用于进一步分析数据的结构。
4、计算特征值和特征向量：在得到内积矩阵B后，我们需要计算其特征值和特征向量。特征值表示数据的主要变化方向，特征向量表示对应方向上的大小。我们将选取最大的k个特征值及其对应的特征向量，作为降维后的k维空间的基。
5、计算降维后的坐标：将原始数据投影到选定的k维基上，我们可以得到降维后的坐标。

      通过上述介绍，可以知道，MDS可以将原始数据维度下降到任意维度。

二、MDS算法示例

       让我们用一个关于水果口味的例子来说明MDS算法的原理。

      假设有5种水果：苹果（A）、香蕉（B）、橙子（C）、葡萄（D）和菠萝（E）。我们对这些水果进行了甜度（Sweetness）、酸度（Sourness）和多汁程度（Juiciness）的评分。评分数据如下：

A:(6,4,5)
B:(8,1,3)
C:(5,7,6)
D:(7,3,4)
E:(4,6,8)

我们希望通过MDS算法将这些三维评分数据降维到二维空间，以便更直观地分析水果之间的口味关系。

步骤1：计算距离

我们可以使用欧氏距离（也可以用其他距离计算方法）来计算水果之间的距离。计算结果如下：

A-B: 4.69
A-C: 3.74
A-D: 2.45
A-E: 3.32
B-C: 6.56
B-D: 3.32
B-E: 6.56
C-D: 5.29
C-E: 2.45
D-E: 5.29

步骤2：构建距离矩阵

将计算出的距离整合成一个距离矩阵D：

    A      B     C     D      E
A   0.00  4.69  3.74  2.45  3.32B   4.69  0.00  6.56  3.32  6.56C   3.74  6.56  0.00  5.29  2.45D   2.45  3.32  5.29  0.00  5.29E   3.32  6.56  2.45  5.29  0.00

步骤3：中心化距离矩阵

我们需要计算中心化矩阵H。数据点的数量n为5。因此，我们可以得到：

I=[1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1]
L=[11111]

H=I-(1/5)*L*L^T
=[0.8  -0.2  -0.2  -0.2  -0.2-0.2 0.8   -0.2  -0.2  -0.2-0.2 -0.2  0.8   -0.2  -0.2-0.2 -0.2  -0.2  0.8  -0.2-0.2 -0.2  -0.2  -0.2  0.8]

步骤4：计算内积矩阵

接下来，我们需要计算内积矩阵B。首先，我们需要计算距离矩阵D的平方：

D.^2=[0.00  21.98  13.99  6.00  11.0221.98 0.00   43.03  11.02 43.0313.99 43.03  0.00   28.00 6.006.00  11.02  28.00  0.00  28.0011.02 43.03  6.00   28.00 0.00]

然后，我们用中心化矩阵H和距离矩阵D的平方计算内积矩阵B：

B=-0.5*H*D.^2*H=[2.12  -2.27  -1.07  1.12  0.11-2.27 15.33  -8.99  5.21  -9.29-1.07 -8.99  9.72  -6.07  6.421.12  5.21   -6.07  6.12  -6.370.11  -9.29  6.42   -6.37  9.13]

步骤5：计算特征值和特征向量

我们需要计算内积矩阵B的特征值和特征向量。我们得到了如下特征值和特征向量：

特征值：lamda1=32.32  lamda2=6.39
特征值lamda1对应的特征向量V1=[-0.02 0.63 -0.48 0.36 -0.49]
特征值lamda2对应的特征向量V2=[-0.53 0.59 0.33 -0.50 0.10]

我们选取最大的两个特征值λ1和λ2，以及对应的特征向量v1和v2，作为降维后的二维空间的基。

步骤6：计算降维后坐标

我们将原始数据投影到选定的二维基上，计算新坐标。首先，构建特征向量矩阵V和特征值矩阵Λ的平方根：

V=[-0.02  -0.530.63   0.59-0.48  0.330.36   -0.50-0.49  0.10]
对角矩阵A^0.5=[sqrt(32.32)      00        sqrt(6.39)]

然后，我们计算降维后的坐标：新坐标 = A * A^(1/2)

新坐标=[-0.11   -1.333.60    1.50-2.76   0.842.02   -1.26-2.76   0.25]

最后，我们得到了降维后的二维坐标：

苹果（A）：(-0.11, -1.33 )
香蕉（B）：(3.60, 1.50)
橙子（C）：(-2.76, 0.84 )
葡萄（D）：(2.02, -1.26 )
菠萝（E）：(0.36, 2.89)

三、基于MATLAB的MDS示例代码

MATLAB中自带降维函数cmdscale，实现代码如下：

clc;
clear;
data=[0.0,4.69,3.74,2.45,3.32;4.69,0.0,6.56,3.32,6.56;3.74,6.56,0.0,5.29,2.45;2.45,3.32,5.29,0.0,5.29;3.32,6.56,2.45,5.29,0.0];
Y=cmdscale(data);

如果将数据降维为2维，则取前2列，结果如下：

如果按照上述原理，编写程序，代码如下：

D=[0.0,4.69,3.74,2.45,3.32;4.69,0.0,6.56,3.32,6.56;3.74,6.56,0.0,5.29,2.45;2.45,3.32,5.29,0.0,5.29;3.32,6.56,2.45,5.29,0.0];I=[1,0,0,0,0;0,1,0,0,0;0,0,1,0,0;0,0,0,1,0;0,0,0,0,1];
L=[1;1;1;1;1];
L*L';
H=I-(0.2)*L*L';
D2=D.^2;
B=-0.5*H*D.^2*H;
[v,d]=eig(B);
lamda1=d(1,1);
lamda2=d(2,2);
duijiaojuzhen=[sqrt(lamda1),0;0,sqrt(lamda2)];
V=[v(:,1),v(:,2)];
zuobiao=V*duijiaojuzhen

四、总结

下面是一个关于MDS算法优缺点的表格：

MDS的优点	MDS的缺点
计算相对比较容易而且不需要提供先验知识。	当数据量较大时，运算时间可能较长。
在降维过程中尽量保持数据点之间的距离关系，有助于挖掘数据中的结构信息，适用于各种类型的数据，如距离、相似性、关联性等。	各个维度的地位相同，无法区分不同维度的重要性。

参考博客：【数据降维-第4篇】多维尺度变换（MDS）快速理解，及MATLAB实现 - 知乎