2013年认证杯SPSSPRO杯数学建模

A题 护岸框架

原题再现：

  在江河中，堤岸、江心洲的迎水区域被水流长期冲刷侵蚀。在河道整治工程中，需要在受侵蚀严重的部位设置一些人工设施，以减弱水流的冲刷，促进该处泥沙的淤积，以保护河岸形态的稳定。
  现在常用的设施包括四面六边透水框架1等。这是一种由钢筋混凝土框杆相互焊接而成的正四面体结构，常见的尺寸为边长约 1 m，框杆截面约0.1×0.1 m。将一定数量的框架投入水中，在水中形成框架群，可以使水流消能减速，达到减弱冲击，防冲促淤的效果。
  第二阶段问题： 四面六边透水框架在抛投时和在使用过程中，可能被水流冲击而翻滚移位，使框架群不能达到理想的堆砌效果，对功能有不利影响。为了使框架在水中互相钩连，需要设计新的形状。但已有的多数设计方案都存在问题，主要集中在两个方面：结构强度不足，以及虽然原则上能够互相钩连，但依然不清楚最终堆砌而成的形状是否合理。请你建立合理的数学模型，设计一个良好的框架结构。

整体求解过程概述(摘要)

  长期以来，四面六边透水框架在河道整治等工程中，因其取材方便、自身稳定性、 透水性、阻水性好、适合地形变化等特性优点而被广泛的应用。但是，在抛投和使用过程中，存在被水流冲击而翻滚移位、结构强度的不足、难以合理互相钩连的问题，使框架群不能达到理想的堆砌效果。本文主要探讨如何合理设计改进现有护岸框架，以最大程度减少框架群被水流冲击翻滚移位的情况，增加框架群在使用过程中互相钩连程度和结构强度，达到减速促淤效果。
  针对问题，我们结合四面六边透水框架本身的优势特性，在原有框架的基础上进行改进设计，根据三角形稳定性的特性，通过应用机理分析，进行物理图形构造，设计出三种供选方案。
  模型一：构建四面六边带触脚框架模型（图 5.2） ，该模型在四面六边透水框架的基础上，运用触脚设计，较好的融合增强四面六边透水框架本身的优点特性，使框架达到不易翻滚，并与其他的框架自然地相互钩连。
  模型二：构建六面九边带触脚框架模型（图 5.6） ，该模型是对模型一的改进，综合模型一和原型模型的结构，不仅具备良好的亲水性、阻水性和稳定性，而且触脚比模型一更多，使框架更加稳定，不易翻滚、框架群之间也更容易钩连；同时，模型二施工简单，更容易构造，也更加节约经济造价成本。
  模型三：构建双四面六边护岸框架模型（图 5.12） ，该模型设计内外双层四面六边透水框架体，旨在增加护岸框架结构强度和稳定性及阻水性。运用内外双层结构设计，形成内外双层保障。由三角形的稳定性可以得知该模型结构强度高、稳定性强。
  模型四：应用层次分析法对如何科学、合理地进行选择护岸框架，进行系统的分析。选取施工时架空率易接近 4 到 6、结构强度、不易翻滚程度、框架群间易钩连程度、生产成本及易生产、施工简易度六个因素指标为准则层，选取原有护岸框架和本文设计的三个框架模型作为方案层，运用 Matlab 软件计算比较，最后得出结论为：模型二（六面九边带触脚框架模型）为最优护岸框架模型。

问题分析：

  近 10 年来，四面六边透水框架作为一种新型的护岸防冲方式，在河道整治等工程中，得到了广泛的应用。这种新型的护岸方式，不仅可以节省工程材料，而且具有良好的减速促淤效果，在投放区域起到了防止冲刷的作用，但是，在实际使用过程中，四面六边透水框架可能被水流冲击翻滚移位，使框架群不能达到理想的推砌效果，对功能有不利的影响。主要表现为：结构强度的不足，以及虽然原则上能够互相钩连，但是不清楚最终形状是否合理。
  针对所给问题，我们要设计出一种新型的护岸框架结构，以解决以下实际生活中护岸框架存在的问题：
  1) 结构强度的不足；
  2) 科学、合理的相互钩连；
  3) 减轻框架群在使用过程中的翻滚移位率。
  我们知道混泥土四面六边透水框架群作为新型的江河护岸工程技术 [1] ，和其他传统的护岸框架（丁坝、抛石护脚等）相比，拥有取材方便、自身稳定性好、透水性好、阻水性佳、基础不易被冲刷、适合地形变化等特性优点，特别是框架的尺寸、架空率和铺设长度的设计，更是有效的综合了透水性、稳定性和阻水性。
  因此，我们考虑在设计新型护岸框架群时，应结合混泥土四面六边透水框架群在护岸技术上的优势，在混泥土四面六边透水框架群的基础上优化设计，发挥四面六边透水框架群的优势，并尽量弥补四面六边透水框架群在结构强度、易钩连程度、翻滚移位程度上的不足，并综合考虑设计后的框架结构在架空程度、经济生产成本、施工的难易程度等指标，通过机理分析，确定出参数关系，从而设计出四面六边带触脚框架模型（模型一） 、六面九边带触脚框架模型（模型二）和双四面六边透水框架群（模型三）然后，我们利用Matlab 软件 [2] ，建立框架群层次分析模型 [3] （模型四）通过建立目标层、决策层和方案层，可以选取施工时架空率接近 4-6 的程度、结构强度、易翻滚程度、易钩连程度、生产成本、施工简易度六个指标对模型一、模型二、模型三所设计的改价护岸框架和四面六边透水框架群原型进行综合分析评价，以确立出最优的新型护岸框架方案。

模型假设：

  1. 护岸框架焊接牢固。
  2. 护岸框架材料均匀，规格一致。
  3. 设计的各类框架选材和四面六边透水框架一样。
  4. 设计的各类框架在施工过程中，不出现偷工减料等现象。
  5. 不考虑不同市场间的材料的差价。

论文缩略图：

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a=[1 3 1 3 6 5; 
1/3 1 1 1 4 4; 
1 1 1 2 4 4; 
1/3 1 1/2 1 5 5; 
1/6 1/4 1/4 1/5 1 1/3; 
1/5 1/4 1/4 1/5 3 1]; 
[x,y]=eig(a); 
eigenvalue=diag(y); 
lamda_a=eigenvalue(1) 
cia=(lamda_a­6)/5; 
cra=cia/1.24 
wa=x(:,1)/sum(x(:,1)) 
b1=[1 1/3 1/4 1/2; 
3 1 1/2 3; 
4 2 1 5; 
2 1/3 1/5 1]; 
[x,y]=eig(b1); 
eigenvalue=diag(y); 
lamda_b1=eigenvalue(1) 
cib1=(lamda_b1­4)/3; 
crb1=cib1/0.9 
wb1=x(:,1)/sum(x(:,1)) 
b2=[1 1 1/2 1/5; 
1 1 1/2 1/5;2 2 1 1/3; 
5 5 3 1]; 
[x,y]=eig(b2);
eigenvalue=diag(y); 
lamda_b2=eigenvalue(1) 
cib2=(lamda_b2­4)/3; 
crb2=cib2/0.9 
wb2=x(:,1)/sum(x(:,1)) 
b3=[1 1/3 1/5 1/2; 
3 1 1/3 4; 
5 3 1 4; 
2 1/4 1/4 1]; 
[x,y]=eig(b3); 
eigenvalue=diag(y); 
lamda_b3=eigenvalue(1) 
cib3=(lamda_b3­4)/3; 
crb3=cib3/0.9 
wb3=x(:,1)/sum(x(:,1)) 
b4=[1 1/3 1/4 1; 
3 1 1/2 4; 
4 2 1 5; 
1 1/4 1/5 1]; 
[x,y]=eig(b4); 
eigenvalue=diag(y); 
lamda_b4=eigenvalue(1) 
cib4=(lamda_b4­4)/3; 
crb4=cib4/0.9 
wb4=x(:,1)/sum(x(:,1)) 
b5=[1 2 3 3; 
1/2 1 2 3; 
1/3 1/2 1 2; 
1/3 1/3 1/2 1]; 
[x,y]=eig(b5); 
eigenvalue=diag(y);
lamda_b5=eigenvalue(1) 
cib5=(lamda_b5­4)/3; 
crb5=cib5/0.9 
wb5=x(:,1)/sum(x(:,1)) 
b6=[1 2 1/3 1; 
1/2 1 1/3 1;3 3 1 3; 
1 1 1/3 1]; 
[x,y]=eig(b6); 
eigenvalue=diag(y); 
lamda_b6=eigenvalue(1) 
cib6=(lamda_b6­4)/3; 
crb6=cib6/0.9 
wb6=x(:,1)/sum(x(:,1)) 
w_sum=[wb1,wb2,wb3,wb4,wb5,wb6]*wa 
ci=[cib1,cib2,cib3,cib4,cib5,cib6]; 
cr=ci*wa/sum(0.9*wa)

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