一、问题
甲、乙二人下象棋,每局甲胜的概率为a,乙胜的概率为b。为简化问题,设没有和局的情况,这意味着a+b=1。设想甲的棋艺高于乙,即a>b。考虑到这个情况,他们商定最终胜负的规则如下:
到什么时候为止甲连胜了三局而在此之前乙从未连胜二局,则甲胜;反之,若到什么时候为止乙连胜了二局而在此之前甲从未连胜三局,则乙胜。
求“甲最终取胜”这个事件A的概率P(A)及“乙最终取胜”这个事件B的概率P(B)。
二、求解甲胜的概率过程
为方便计,分别以E和F表示甲、乙在特定的一局取胜的事件,有P(E)=a,P(F)=b。现考虑“甲取胜”的事件 A,分两种情况:
- 第一局甲胜而最终甲胜了
这一情况又可分解为许多子情况:对n=0,1,2,···,甲经过n个“阶段”后才取胜,每个阶段是 EF 或EEF(注意:为了与下一阶段互相独立,一定要确保最后一个是F),然后接着来一个EEE。例如,甲经过3个阶段后获胜的一种可能实战结果为:EEF EFEEF EEE
即共下了11局甲才获胜,其中第1,2,4,6,7,9,10,11局甲胜,其余乙胜。每个阶段不是EF 就是EEF,这两种情况互斥,又由独立性,知每个阶段的概率为ab+aab=ab(1+a)。
再由独立性,知“经n个阶段后甲获胜”的概率为。[ab(1+a)]na3,n可以为0,1,2,···,不同的n 互斥,于是这部分概率总和为
关于这个求和结果不清楚的可以参考《转载:等比数列的求和公式,及其推导过程》算出等比数列和,在利用b=1-a及极限的知识即可求得。 - 第一局乙胜而最终甲胜了
既然第一局为F而最终甲胜,则第二局必须是E。故以第二局作起点看,我们回到了情况1,从而这部分的概率为bp,请注意,这里事实上已用了概率的乘法定理:
P(第一局乙胜且最终甲胜)=P(第一局乙胜)P(第二局甲胜且最终甲胜)
P(第一局乙胜) = b,P(第二局甲胜且最终甲胜) =p。综合两个情况(它们互斥),由概率加法定理得:
三、求解乙胜的概率过程
求乙胜的概率过程与求甲胜的概率过程类似,不过需要分三种情况:
- 第一局乙胜,分为n+1个阶段,前n个阶段每个阶段是FEE或FEFE,最后一个阶段是FF,前n个阶段每阶段的概率是a²b(1+b),最后一阶段是b²,可以求得这种情况的概率为:P(B) = b²Σ(ab+a²b)n=b²/(1-ab(1+a));
- 第一局甲胜,第二局乙胜,这个从第二局开始就是第一种情况,因此其概率为ab²/(1-ab(1+a));
- 前两局甲胜,这个从第二局开始就是第二种情况,因此其概率为a²b²/(1-ab(1+a))。
最终乙胜的概率为:(b²+ab²+a²b²)/(1-ab(1+a)),由于a+b=1,可以计算得到:P(A)+P(B)=1。
四、小结
本文是根据陈希孺版《概率论与数理统计》《第一章事件的概率》结合老猿自己的理解介绍的,大部分内容来自书中原文,但补充了两方面的内容,一是求甲胜的概率的等比数列求和式子的结果的计算原理,二是求乙胜的每种情况的概率计算过程和结果。
这个例子值得细心品味。第一,它提供了一个涉及无限个事件的情况(在甲最终取胜前可以经过任意多的“阶段”),以及在无穷个事件时使用概率加法定理。第二,本例告诉我们,在面对一个复杂事件时,主要的方法是冷静地分析,以设法把它分拆成一些互斥的简单情况。这里,必须细心确保互斥性又无遗漏,一着不慎,满盘皆非。
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