随想录日记part42

$time：$ 2024.04.14

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主要内容：今天开始要学习动态规划的相关知识了，今天的内容主要涉及：最长递增子序列 ；最长连续递增序列 ；最长重复子数组 ;最长公共子序列;不相交的线 ;最大子序和动态规划

• 300.最长递增子序列
• 674. 最长连续递增序列
• 718. 最长重复子数组
• 1143.最长公共子序列
• 1035.不相交的线
• 53. 最大子序和动态规划

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动态规划五部曲：
【1】.确定dp数组以及下标的含义
【2】.确定递推公式
【3】.dp数组如何初始化
【4】.确定遍历顺序
【5】.举例推导dp数组

Topic1最长递增子序列

思路：

接下来进行动规五步曲：
1.确定dp数组以及下标的含义:
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
2.确定递推公式:

//位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

3.dp数组如何初始化

 Arrays.fill(dp, 1);

4.确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
5.举例推导dp数组
输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

代码如下：

class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {int len = nums.length;// dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度int[] dp = new int[len];Arrays.fill(dp, 1);if (len == 1)return 1;dp[0] = 1;int max_value = 1;for (int i = 1; i < len; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j])dp[i] = Math.max(dp[j] + 1, dp[i]);}max_value = Math.max(max_value, dp[i]);}return max_value;}
}

时间复杂度：$O(n^2)$
空间复杂度：$O(n)$

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Topic2最长连续递增序列

题目：

思路：

接下来进行动规五步曲：
1.确定dp数组以及下标的含义:
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
2.确定递推公式:

if(nums[i]>nums[i-1])dp[i]=dp[i-1]+1;

3.dp数组如何初始化

 Arrays.fill(dp, 1);

4.确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
5.举例推导dp数组
已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

class Solution {public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {int len = nums.length;int[] dp = new int[len];Arrays.fill(dp, 1);int result = 1;for (int i = 1; i < len; i++) {if (nums[i] > nums[i - 1]) {dp[i] = dp[i - 1] + 1;}result = Math.max(result, dp[i]);}return result;}
}

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(n)$

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Topic3最长重复子数组

题目：

思路：

接下来进行动规五步曲：
1.确定dp数组以及下标的含义:
dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）
2.确定递推公式:
根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！
3.dp数组如何初始化

 for(int i=0;i<=nums1.length;i++) dp[i][0]=0;for(int i=0;i<=nums2.length;i++) dp[0][i]=0;

4.确定遍历顺序
外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。
5.举例推导dp数组
拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

class Solution {public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {// dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i -1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];for (int i = 0; i <= nums1.length; i++)dp[i][0] = 0;for (int i = 0; i <= nums2.length; i++)dp[0][i] = 0;int result = 0;for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;result = Math.max(result, dp[i][j]);}}return result;}
}

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Topic4最长公共子序列

题目：

思路：

接下来进行动规五步曲：
1.确定dp数组以及下标的含义:
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
2.确定递推公式:
主要就是两大情况：1.text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同 2.text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
3.dp数组如何初始化

 for(int i=0;i<=nums1.length;i++) dp[i][0]=0;for(int i=0;i<=nums2.length;i++) dp[0][i]=0;

4.确定遍历顺序
外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。
5.举例推导dp数组
以输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例，dp状态如图：

class Solution {public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {int len1 = text1.length();int len2 = text2.length();int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];for (int i = 0; i <= len1; i++)dp[i][0] = 0;for (int i = 0; i <= len2; i++)dp[0][i] = 0;int result = 0;for (int i = 1; i < len1 + 1; i++) {for (int j = 1; j < len2 + 1; j++) {if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1))dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);result = Math.max(result, dp[i][j]);}}return result;}
}

时间复杂度：$O(n\ast m)$
空间复杂度：$O(n\ast m)$

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Topic5不相交的线

题目：

思路：

接下来进行动规五步曲：
1.确定dp数组以及下标的含义:
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
2.确定递推公式:
主要就是两大情况：1.text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同 2.text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
3.dp数组如何初始化

 for(int i=0;i<=nums1.length;i++) dp[i][0]=0;for(int i=0;i<=nums2.length;i++) dp[0][i]=0;

4.确定遍历顺序
外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。
5.举例推导dp数组

class Solution {public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {int len1 = nums1.length;int len2 = nums2.length;int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];for (int i = 0; i <= len1; i++)dp[i][0] = 0;for (int i = 0; i <= len2; i++)dp[0][i] = 0;int result = 0;for (int i = 1; i < len1 + 1; i++) {for (int j = 1; j < len2 + 1; j++) {if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);result = Math.max(result, dp[i][j]);}}return result;}
}

时间复杂度：$O(n\ast m)$
空间复杂度：$O(n\ast m)$

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Topic6最大子序和动态规划

题目：

思路：

接下来进行动规五步曲：
1.确定dp数组以及下标的含义:
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]
2.确定递推公式:
dp[i]只有两个方向可以推出来：
dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
3.dp数组如何初始化
dp[0] = nums[0]
4.确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
5.举例推导dp数组
以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int len = nums.length;int[] dp = new int[len];Arrays.fill(dp, Integer.MIN_VALUE);int tem;dp[0] = nums[0];if (len == 0)return 0;int result = nums[0];for (int i = 1; i < len; i++) {dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);result = Math.max(result, dp[i]);}return result;}
}

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(n)$