专栏导读

• 作者简介：工学博士，高级工程师，专注于工业软件算法研究
• 本文已收录于专栏：《有限元编程从入门到精通》本专栏旨在提供 1.以案例的形式讲解各类有限元问题的程序实现，并提供所有案例完整源码；2.单元类型包含：杆单元，梁单元，平面三角形单元，薄板单元，厚板单元，壳单元，四/六面体实体单元，金字塔单元等；3.物理场问题涉及：力学、传热学、电磁学及多物理场耦合等问题的稳态（静力学）和瞬态（动力学）求解。专栏旨在帮助有志于有限元工业软件开发的小伙伴，快速上手有限元编程，在案例中成长，摆脱按部就班填鸭式教学。
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​一、案例介绍

本案例实现了下述二维三角形区域的泊松方程的Matlab有限元编程求解，边界条件包含了第一类Direchliet和第二类Neumann边界条件，采用的单元为三角形单元，具体方程形式如下图，介绍了泊松方程有限元求解基本原理，将Matlab求解的结果与Comsol求解的结果进行对比，证明了本Matlab求解程序的准确性。提供案例源码供大家练习。

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二、原理说明

根据变分原理，平面三角形区域内无体力的泊松方程的泛函表达式为：

​其中，q，h，f为边界条件系数。

将求解域离散，节点u值通过形函数表示：

​采用三角形单元，在面积坐标系中，形函数为：

​将形函数表示的u值代入泛函表达式，根据泛函取极值，其一阶变分为0可得有限元方程：

​其中[K]表示整体刚度矩阵，由单元的[Ke]矩阵和[He]矩阵组装得到；[P]表示边界条件矩阵，由边界单元的[PeH]矩阵和[PeQ]矩阵组装得到，具体为：

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三、程序介绍

将压缩文件解压后放入matlab运行目录，运行主函数“mian”便可得到计算结果，结果包括：

​1．域D的网格划分情况（来自于“element.txt”和“node.txt”）：

​2．变量u在D域中的分布：

​3．将u在D域中的分布记录为文本文件，第一列表示x值，第二列为y值，第三列为u值。

程序的子函数共有三个，分别为：“KeCalculate.m”用于计算公式(5)；“HeCalculate.m”用于计算公式(6)；“PeCalculate.m”用于计算公式(7)(8)。程序中矩阵的装配对应公式(9)(10)。

边界条件数值通过三个系数q，h，f控制，程序中通过乘大数法定义BC边界条件，设置h =1e8，f=0；AB边界条件设置q=1；AC边界条件设置q=0。

具体过程在程序中都写好了注释。

四、程序计算结果和COMSOL商用有限元软件对比：

Matlab计算结果

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Comsol计算结果

结果一致，可验证准确性。