群论学习笔记

什么是对称？

对称是一个保持对象结构不变的变换，对称是一个过程，而不是一个具体的事物，伽罗瓦的对称是对方程根的置换，而一个置换就是对一系列事物的重排方式，严格的说，它也并不是这个重排本身，而是你实施重排时遵循的规则，不是菜，而是菜谱。

在对称的定义中，有三个关键词"变换" transformation, “结构”structure, 以及"保持“preserve.以等边三角形为例来解释，根据定义，等边三角形的三条边长度相等，三个角大小相等，都是60度，这样的特征让人很难把它的三条边区别开来，“最长的边"这种说法毫无意义，三个角也无法区分，这种无法区分各边或各角的情况正是由等边三角形所具有的对称造成的，事实上，正式这种“无法区分”定义了对称。

变换：我们可以对一个三角形进行一些操作，原则上来说，我们可以做的有很多：把它弯曲，旋转（或翻转）一定的角度，折皱，像皮筋一样拉伸，涂上颜色，但我们的选择范围被第二个词限制住了。

结构：我们这个三角形的结构是由被认为非常重要的数学特征组成的，三角形的结构包括诸如“它有三条边”，“三条边是直的”，“每条边的长度是10厘米”“它位于当前这个平面内”，等内容，在其他数学分支中，重要的特征可能会有所不同，比如在拓扑学中，唯一重要的就是三角形构成了一个简单封闭曲线，至于它有三个转角，它的边是直的这些特征就不再重要了。

保持：变换后对象的结构必须与原来的一致，变换后的三角形必须同样有三条边，所以弄皱是不行的，边必须是直的，所以弯曲也不可以，每条边的长度必须还是10厘米，所以拉伸也是禁止的，位置要保持在原地，所以挪动位置也是不允许的。

颜色不是我们要考虑的结构，所以像魔方那样不同的颜色状态，我们认为是保持对称的变换。包括教材中用于演示操作的标记，数字等等，这些标记仅仅作为标记使用，并不属于需要保持的结构，如果不看这些标记，旋转（翻转）后的三角形看起来就和原来完全一样，所以，以魔方为例，如果一个变换产生了一种从来未出现过的颜色组合而保持立方体的形态未变，那么这个变换就是群中的元素。

所有的立方体都具有对称性，因为其所有的面都一样，所有的角都一样，所有的边都一样，但是，由于魔方可以转动，又增加了许多错综复杂的对称，可行的转动方式和组成整个魔方的小立方体的组合方式，也与对称性有很大关系。

对于一个对称图形构成的群来说，它的元素是图形所有的对称状态，比如对于正三角形，它有两种操作(沿垂直方向翻转和旋转90度，或者理解为沿着三个角的对称轴翻转的三种操作和旋转120，240度，0度）对应六种对称状态，所以群的阶就是6.对于圆这种完美的对称图形，它的对称轴有无穷多个，无论翻转和旋转任意角度都是对称的，所以群的阶为无穷大。）

群定义

满足四条群公里的集合叫做群，设集合为G，其中任意元素a,b,c.

1.封闭性，a*b属于G。

2.结合律，(a*b)*c = a*(b*c).

3.存在单位元,G中存在一个元素e,使得a*e=e*a=a. e是唯一的。

4.存在逆元，对于每个G中a，存在一个G中的逆元x，使得a*x=x*a=e.x是唯一的。

记号*代表一种预先定义的运算，这种运算叫做“乘法”, 它是一种定义宽泛的操作，似乎所有操作都可以满足，a*b表示先做b操作再做a操作，这种从右到左的计算方式是为了和复合函数f*g(x) = f(g(x))的写法习惯保持一致。

群论彩图版的定义：

1.存在一个预先定义的，不会改变的作用列表。

2.每个作用都是可逆的。

3.每个作用都是确定性的。

4.任何连续的作用序列仍是一个作用。

后者的定义更加直观一点，但是缺点是不够抽象，需要和抽象的定义做对应。

任何连续的作用序列仍是一个作用，可以看作是对群公里第一条封闭性的阐述，递归的理解封闭性，我们可以将群中的操作反复进行无数次，仍然是G中元素。

每个作用都是确定性的，可以理解为对群公理结合律的阐述，只要操作序列不变，无论组合哪个部分，都能得到唯一的明确的结果状态。

每个作用都是可逆的，对应群公里的存在逆元项，当然也隐含着存在一种不变的操作，就是单位元。

存在一个预先定义的，不会改变的作用列表，其实就是群公理的大前提，存在一个集合G。

群的公理化定义比较抽象，好像啥都没说，不结合实例很难理解，不过正式因为啥都没说，所以啥都说了，包罗了宇宙万物的基本对称性。

虽然群定义要求作用的任意合成仍是一个作用，但并没有要求合成的作用必须是一个新的作用，是否是新的作用要看最终的状态是否曾经出现在群作用的结果中，比如，翻转硬币2，4，6，8，都会回到状态，所以，虽然偶数次的翻转任意合成都是一个作用，但是并不是一个新的作用，硬币的效果和翻转2次是一样的。

对称群：

对称群包含对某一几何对象的所有对称操作，例如旋转和反射（翻转），对陈群在计算机图形学和密码学中有重要作用。

正方体（及正八面体）的对称性

正六面体转动群_百度百科

对称群的阶（也就是保持几何对象对称的操作个数）依赖于几何对象的结构本身。比如对于立方体来说，其对称操作很少，阶仅仅是24，但是如果将其切为三阶魔方，则其对称操作立刻膨胀到一个极大的数字。

一个给定集合的所有置换构成的群叫做对称群，通常记为 $S_n$ ，S就是Symmetry的意思，一个具有N个元素的集合，由它的所有置换构成的对称群的元素的个数自然就是N的阶乘 $N!$ 个。任何有限群都可以看成是对称群的子群。

既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射”，同一个集合上的双射构成对称群：

双射等价于函数中的可逆函数，自变量和因变量之间存在一一对应。

正二面体群示意图，画成凯莱图如下:

包括的操作: 1.顺时针旋转90度(a).2.沿着F东北-西南方向翻转180度(b)

上面那幅图是四年前绘制的，现在来看，有些错误和幼稚，正确的画法如下：

1.顺时针旋转90度.2.沿着F中线左右方向翻转180度

上下两图内部箭头相反是下面的箭头表示逆元操作，这个也叫做D4群。

up has problem, the right is as below:

置换和轮换

S3全置换群

思考后，感觉下面这幅凯莱图才是对的：

2024/12/17纠正：上面的是错误理解，最开始的是对的，比如，上面的图，内部是陪群，同样的翻转操作，在内部和外部是相反的。矛盾。

从下图可以明显看出来{e, r, r^2} 和{e, f}构成了两个子群，因为把他们的凯莱表抽出来，也构成一个群，两个子群的阶分别是3和2，也是父群的因子，符合拉格朗日定理。

S3有四个非平凡子群，它们包括:

$\{e, r, r^2\}, \{e, f\}, \{e, rf\},\{e, r^2f\}$

以第四个为例， $r^2fr^2f = r^2(fr^2)f = r^2(rf)f=r^3e=ee=e$

子群 $\{e, r, r^2\}$

子群 $\{e,f\}$

子群 $\{e,rf\}$

子群 $\{e,r^2f\}$

S3的轨道图如下，每个轨道表示一个周期变化的子群，这些子群共享单位元操作e.

一维空间只有平移操作，二维空间可以定义一个翻转，如上面的三角形。

S3构成对称的操作抽象出来如下图右侧, 有相关性的操作也是独立的对称操作。

运算从右向左进行，也就是从左向右看，先做第二个操作，在做第一个操作：

凯莱图怎么看？

根据上面S3的凯莱图来看，每个运算结果为首先执行单元所在的列对应的运算，然后再做单元所在的行的运算。以rf为例，表示先做列表示的f操作，在做行表示的r操作。

$fr^2=rf$

表示做两次R在做F，等于做一次F后在做一次R。根据凯莱表可以看出，这个公式是对的。

群举例

要把群的元素和群的操作分开，以模仿群为例，模仿群一共有19种转动操作，分别是六个面的

1.转动90度

2.转动180度

3.转动270度

六个面一共3x6 = 18种操作，再加上什么都不做的恒等变换，一共19种操作。更深入分析，每个面的三个操作实际上是一个操作的不断重演生成的，这个操作就是“旋转90度”。

而三阶魔方群的阶也就是三阶魔方群元素的数量，则有43,252,003,274,489,856,000个之多。

而操作也可以构成一个群，用e表示什么都不动，r表示旋转90度，则操作构成一个三阶置换群：

S2置换群

整数加法群，操作是加法，集合是全体整数

1.封闭性：a,b是整数，则a+b是整数.

2.结合性：a,b,c是整数，则(a+b)+c = a + (b + c)

3.单位元为0,a是整数，0属于整数，a+0 = 0 + a = a.作后用a不变。

4.消去公里（逆元公理）对于任何整数a,存在-a属于整数，且a+(-a) = 0结果为单位元，所以任何一个整数都存在一个逆。满足群公理。

所以全体整数和加法操作，组成一个群。

整数除以5的余数构成的集合，二元运算是集合内的元素首先加再除以5取余数,

8除以5余3，-8除以5余2，余数集合为{0,1,2,3,4}.

1.封闭性：a,b是集合元素，则 (a+b)/5 还是属于集合。

2.结合性：比如2，3，4. (2 op 3) op 4 = 0 op 4 = 4 = 2 op (3 op 4) = 2 op 2 = 4.

3.单位元是0，a是集合元素，a op 0 = a.

4.消去公里（逆元公理）, (0 + 0)%5 = 0, (1+0)%5 = 1, (2+0)%5 = 2, (3+0)%5 = 3, (4 + 0) % 5 = 4.

整数在乘法下不构成群，理由如下：

因为对于乘法来说，只能用1作为单位元，而一个整数n的倒数1/n是逆元，而1/n不是整数。同时0也不存在逆元0*X = 1? 这样的X不存在。群公里三和四都不满足。所以整数在乘法下不构成群。

正整数和0在加法操作下不够成群，因为除了0，任何其他元素都没有逆元。

除0之外的所有的有理数在乘法下构成群。

1.显然成立。

2.显然成立。

3.存在单位元1，任何分数和单位元乘法均为原数。

4.存在逆元，即原数的倒数，倒数也是有理数。

之所以除了0之外的有理数才是群，是因为0首先是有理数，其次，0不存在逆元，0没有倒数，乘以任何数都是0，所以不存在逆元，虽然满足1，2，3，但是不满足4.

如何涉及到乘法的群，要小心0的反例。

所有有理数（包含0）的加法构成群。

1.显然成立。

2.显然成立。

3.存在单位元0，任何有理数+0都是原数。

4.存在逆元，即原有理数的负数。单位元0的逆元是它本身。

群的逆元和单位元都是唯一的。

拉格朗日定理：子群阶数一定是群阶数的约数吗?_百度知道

以S3为例的说明{f, rf, r^2f}元素互相等价，{e, r, r^2}元素互相等价。

拉格朗日定理的逆命题不一定成立，群G不一定在所有约数上都有子群。

八阶二面体群

证明循环群一定是阿贝尔群？（交换群）

令生成元为a，循环群中任意两个元素可表示为a的幂 $a^p, a^q$ ,我们有：

$a^p a^q = a^{p+q} = a^{q+p} = a^qa^p$

所以循环群一定是阿贝尔群

如何衡量对称性？根据什么说一个图形比另一个图形更对称? 对称操作的个数？也就是群的阶？

方程“不知道”你如何排列它的根，所以把这些根排列成什么样都不应该有什么重大的影响。

修正凯莱图的运算先后顺序，先右后左，得到新的8阶2面体群。

数学女孩-伽罗瓦理论读书笔记

以下五个操作一次执行，得到什么结果? 计算过程如下图所示，和书中一致。

如果去掉“扑通向下”没有意义的作用（相当于单位元），则构成更加紧凑的变换形式：

长方形四阶群,两个操作四种对称状态，fr也可以看成是正方形的旋转180度对称，和两次翻转等价。

长方形对称群，棱形对称群都是克莱四元群，它是最小的非循环群，和两二阶循环群做直积同构：

和长方形四阶群同构的是两个电灯开关群，通过这个群可以看出，群的元素是操作的组合，但是是否所有组合的状态都是群的元素，需要对比组合后的对象状态是否一样，如果两个不同的操作组合得到的是一个状态，则这两个操作序列只能任选一个作为群元素。具体的说，如果一个操作不影响原来图形在空间中的位置，但是改变了标记的序号（比如S3中的1，2，3），但仍能保证物理占据原来的空间，这样的操作才是群中元素，否则，如果空间不便，序号也不变，那就是没有操作的e.总而言之，群中的操作是那些保持位置不变，而记号改变的所有的操作的集合。

比如在D4八阶二面体群中，我们定义的操作是为了保证对象在二维平面中的位置不变，而在魔方中魔方群众，变换保持的不是魔方在空间中的位置（魔方在空间中的位置由D8群操作保证），而是影响魔方内结构状态的变化的操作。

一个立方体有多种空间对称操作，但是如果将一个立方体做成骰子，则将会失去空间对称性。

长方形四阶群是上图八阶二面体群的一个子群，对比F的状态，我们可以抽取和长方形四阶群对应的八阶二面体群的对应状态为：

$\{e, r^3f, rf, r^2\}$

在八阶二面体群子群中，其凯莱表为：

r作用其左陪集为：

$r\{e, r^3f, rf, r^2\} = \{r, f, r^2f, r^3\}$

f作用其左陪集为：

$f\{e, r^3f, rf, r^2\} = \{f, r, r^3,r^2f\}$

r^2作用，其左陪集为其本身：

$r^2\{e, r^3f, rf, r^2\} = \{r^2, rf, r^3f,e\}$

r^3作用，其左陪集为：

$r^3\{e, r^3f, rf, r^2\} = \{r^3, r^2f, f,r\}$

rf作用，其左陪集为：

$rf\{e, r^3f, rf, r^2\} = \{rf, r^2, e,r^3f\}$

r^2f作用，其左陪集为：

$r^2f\{e, r^3f, rf, r^2\} = \{r^2f, r^3, r,f\}$

r^3f作用，其左陪集为：

$r^3f\{e, r^3f, rf, r^2\} = \{r^3f,e, r^2,rf\}$

r作用其右陪集为：

$\{e, r^3f, rf, r^2\}r = \{r, r^2f, f, r^3\}$

f作用其右陪集为：

$\{e, r^3f, rf, r^2\}f = \{f, r^3, r,r^2f\}$

r^2作用，其右陪集为其本身：

$\{e, r^3f, rf, r^2\} r^2= \{r^2, rf, r^3f,e\}$

r^3作用，其右陪集为：

$\{e, r^3f, rf, r^2\} r^3= \{r^3, f, r^2f,r\}$

rf作用，其右陪集为：

$\{e, r^3f, rf, r^2\}rf = \{rf, r^2, e,r^3f\}$

r^2f作用，其右陪集为：

$\{e, r^3f, rf, r^2\} r^2f= \{r^2f, r, r^3,f\}$

r^3f作用，其右陪集为：

$\{e, r^3f, rf, r^2\} r^3f= \{r^3f,e, r^2,rf\}$

看上去左陪集等于右陪集，所以，克莱因四元群是八阶二面体群的正规子群？

八阶二面体群的状态转换图，左右两幅图是等价的：

以右图为例，如果将 $\{e, r^3f, rf, r^2\}$ 进行f操作，则所有状态都将进入其中同一个陪集。如果都进行r操作，也是同样的进入同一个陪集。如果都进行r^2相当于交换位置，还是原来的子群。从这幅图上可以体会群，子群，陪集的几何意义。八阶二面体群就是D4群。

阿贝尔群的可视化方法

循环群一定是阿贝尔群，因为只对应一个生成元操作，同一个操作无论进行多少次都是可以拆分交换的。所以素数阶群一定是循环群，也一定是阿贝尔群。

群运算可交换性决定了在阿贝尔群的凯莱图中，从同一结点出发的每对箭头都应该形成一个闭合的“菱形”。是不是标准的菱形并不重要，重要的是连接的模式。如下图所示，在阿贝尔群的凯莱图中不会出现左边这种模式，永远都是右边这种模式。

按照这个规则，S3是非阿贝尔群，D4也是非阿贝尔群, 克莱因四元群是阿贝尔群。

为什么四次方程有根式解

对于一般四次方程，4个根的全部置换构成对称群(置换群S4),有24个元素，它有一个正规子群A4，是交错群，有12个元素，接下来是的子群是正规子群是上面提到的克莱因群，有四个元素，而克莱因群又是C2和C2的直积，也就是说它还有一个正规子群C2，这是一个单群，只有一个子群就是单位群e，所以我们可以看到，四次方程有根式解。

为什么三次方程有根式解

一般的三次方程，三个根的全部置换构成群S3，它有一个正规子群C3，C3是单群，只有一个子群e，所以三阶方程可解。

为何克莱因四元群是A4的正规子群？看下图，黄色的和深褐色的是相同的：

在 $H_4a$ 的变换中(e,v,h,hv)分别映射到了如下黑箭头指向的位置，可以看到，这种变换恰好就是a左乘的结果：

克莱因四元群有三个子群，因为是阿贝尔群，所以所有子群都是正规的，下图中绿色线对应v垂直翻转操作，红色线h代表的是水平翻转操作，hv表示的是先水平后翻转操作（或者先翻转后水平，阿贝尔群无所谓）。深蓝色的代表的就是hv操作，所以 {e,h}, {e,v}, {e, hv}三个都是克莱因群的子群。

克莱因四元群是A4的正规子群，它的左右陪集相同，而克莱因四元群是可解的，这也是为何四次方程有根式解的原因。形式上看，从子群出发的所有操作，会进入到同一个陪集。

之所以五次方程没有根式解，是因为五次方程S4有一个正规子群A5，它是单群，没有正规真子群，仔细观察全图可发现该群不可解的蛛丝马迹，所有的可视子群看上去都非常不正规，虽然它有多个子群，但是没有一个子群是正规的（有子群但是没有正规子群的叫做单群），以下面红色的子群为例，如果该子群是正规的，那么从红色子群出发的蓝箭头都应该进入到同一个陪集，但是实施恰恰相反，它们各自进入了不同的五阶循环群。

即便是正规的群，也不是所有的子群都是正规的，但是如果存在正规的子群，并且这个正规子群可解，那么这个方程就可解。

Algorithmic-Graph-Theory/(MAA Classroom Resource Materials) (MAA Problem Book Series) Nathan Carter - Visual Group Theory-The Mathematical Association of America (2009).pdf at main · Invitation-to-Algorithmic-Graph-Theory/Algorithmic-Graph-Theory · GitHub

下面这张凯莱图把克莱因群的元素绘制成了一个四面体结构，想象一下我们朝着它仍一个二向薄，按照垂直于屏幕方向一巴掌拍下去，把这个棱锥拍到二维平面，它是不是就和前面绘制的长方体凯莱图一样了（除了对角线的HV操作这里也链接起来了之外），都是一个长方形结构并且对变都是同颜色的（相同操作）。

所以从上面这幅图的角度看，克莱因四元群的三个子群都非常清楚了，它是阿贝尔群，因为无论从那个节点开始，左乘{e,h,v,hv}中的元素和右乘{e,h,v,hv}中的元素，都能到达同样的目的地，说明是阿贝尔群，子群都是正规的。

克莱因群各子群的左陪集和右陪集，经过逐一比较可以看出，每个子群的左陪集和右陪集相等，所以克莱因四元群的每个非平凡子群都是正规子群。

群定理-群G的任意个子群之间的交集还是子群

1.封闭性：如果a,b属于取交后的集合，则ab必定属于取交前的每个子群，所以ab自然也属于最后取交后的集合，所以封闭性成立。

2.结合律，同样道理，如果a,b,c属于取交后的集合，则a,b,c必定是取交前的每个子群的元素，所以满足每个子群中都满足(ab)c=a(bc).

3.存在单位元：由于取交前每个子群都和大群G共享一个单位元e，所以它也属于取交后集合的元素，对于取交后的集合中任何一个元素a,他也是G中的元素，满足ae=ea=a.所以取交后存在单位元。

4.存在逆元：对于取得交后的任意元素a,它自然也存在于取交前的各个子群中，再每个子群中，都有唯一的一个逆元 $a^{-1}$ ,后者必然也存在于每个子群中，所以取交后必然也存在于最后的交集中，所以交集中每个元素a,都存在唯一的一个逆元 $a^{-1}$ ,满足 $aa^{-1} = e$ ,也就是每个元素存在逆元。

所以，群G的所有子群构成的交集满足四条群公理，是子群。

形式化的定义见下图：

cycle notation 表示和S4对称群以及A4偶置换群

同一个集合上的双射构成对称群，我们看1 2 3 4 四个元素组成的4！=24 阶置换构成的对称群。

S4对陈群一共24个元素，其中包括12个偶置换和12个奇置换，它与如下立方体同构：

以上群图使用的生成元是：(0 1)和（1 3 2):

如果换一对生成元，使用（0 1)和(0 3 2 1)，则会生成一个完全等价但是形状不同的群图，由切角的立方体变成了切角的正8面体。

怎么理解换了生成元之后，同一个群的凯莱图发生变化呢？因为开来图的形状是由连线决定的，而连线则是生成元操作，所以改变生成元，自然改变了骨架，也就自然改变了凯莱图的形状，不过即便形状改变了，我们可以依赖空间想象能力，将下图脑补成切角立方体的形状，由于身成元（0 1)仍然存在，也就是下图的绿色线条，所以我们保留它，但是(0 3 2 1)不存在了，也就是深红色的平行四边形的边对应的操作，我们擦除它。之后用蓝色箭头和橙色箭头表示生成元（1 3 2)，蓝色和橙色分开的目的是我们找出蓝色箭头组成的三角形作为切角立方体的一个角，三个橙色箭头表示的三角形作为立方体中三个卫星边对应的（1 3 2)循环角。虚线（生成元（0 1)）表示立方体的角到周围三个卫星循环角的变换，对应立方体的一个角向另外三个相邻角发出去的三条边，这样，是不是就从八面体群图中找到了立方体的构建？所以它们是等价的。

再换一对生成元（0 3 2 1) 红色箭头，（0 2 1) 绿色箭头：

得到如下的凯莱图，可见凯莱图又变化了一种形态，但是本质上和前面两个描述的是同一个群，也就是S4群。

对换和轮换

在集合 X 中任取一个元素 x ，因为 Sn 是有限群，必然存在r, r是使 $f^r(x)=x$ 的最小正整数，我们称 (x,f(x),……,fr−1(x)) 为 f 的r− 轮换， r 是这个轮换的长度，长度为2的轮换叫做对换。

f(f(f(1))) = 1, 三层f表示轮换的长度为3.长度为2的轮换叫做对换，也就是两个元素之间交换。

也就是说，置换分为轮换和对换，对换又是一种特殊的轮换，多个对换可以构成一个轮换。所有的置换都是轮换。

两个能通过循环移位得到的轮换是相同的，比如 (1,2,3),(2,3,1)，他们用cycle notation表示的都是

偶置换：偶置换是置换的一个子类，长度为2的轮换称为对换，每个置换都可以表示成对换的乘积。一个可以表示成偶数个对换的乘积称为偶置换。

当把置换写成对换的乘积时，不要求（也不能要求）这些对换没有公共的点，也不能保证表示的唯一性；甚至不能保证乘积中出现的对换的个数的唯一性。但是我们可以证明，当把一个置换 g 表示成对换的乘积，所需要的对换的个数的奇偶是被 g 完全确定的。一个可以表示成偶数个对换的乘积称为偶置换（even permutation），否则称为奇置换（odd permutation）。

比如上面S4的全置换群，每个置换都不是唯一的，可以反复进行多次，但是需要的对换次数却是唯一确定的。也就是置换的奇偶性。

全体偶置换在置换的乘法下成为一个群，称为n上的交错群（alternating group），记作 A(n)。A(n) 是 S(n) 的正规子群。同样用 Alt(n)，或 An来表示 n 元集合上的交错群。交错群在有限群理论中具有重要地位。当n>=5时，An是单群。

举例来说，S3一共有六个元素，这六个元素的每个都可以叫做置换，但是C3构成轮换，C3的陪集是对换。

任何一个轮换都可以由不同的对换得到。

如果一个置换可以通过偶数个对换得到，那么它只能通过偶数个对换得到；

如果一个置换可以通过奇数个对换得到，那么它也只能通过奇数个置换得到。

一个对称群Sn中所有的偶置换一定构成一个群，因为单位元是偶置换，这个群叫做交错群，阶数为： $\boldsymbol{\frac{n!}{2}}$

理解群乘法不符合交换律：先穿袜子再穿鞋，和先穿鞋再穿袜子不一样，先起床后尿尿，和先尿尿后起床也不一样。

满足交换律的群叫做阿贝尔群，也叫交换群。S3是非阿贝尔群，C3是阿贝尔群，阿贝尔群满足交换律，不用区分左右陪集，所以只要有子群，一定是正规的。

假设卧室的三面墙上都挂着画，每面墙上只挂一副，逆向重新安排画的位置来看看哪种安排最为合适，你不能用第四面墙，因为它上面有一扇窗户，只用两种作用，1.互换左边墙与中间墙上的画。2.互换中间墙和右边墙上的画，也就是只有如下两个作用,分别用 $\alpha \ \ \ \beta$ 表示两个作用作为生成元：

凯莱图是

当然，也可以选择使用其它的生成元，选择不同的生成元不影响群的性质。

数学女孩中的S3，和上面画的S3生成元不同：

如何图形化理解正规？

设G是一个群，H是其子群。若H的左陪集与右陪集总是相等（对任何的a∈G，aH=Ha），则称H是G的正规子群或不变子群，记为H⊴G。注意这里指的是两个集合相同，而非计算过程中的对应元素相同，也就是不要求对于H中的任意元素c，ac==ca,而仅仅要求各自计算后，结果集合中的元素是相同的，所以阿贝尔群的子群一定是正规的，但反过来不成立。

首先看S3的子群 $C_3$

翻转f的作用是（2 3）：

(2 3) {e r r^2} = {f, r^2f, rf};

{e r r^2}(2 3) = {f, rf, r^2f}; 其它计算类似。

S3的陪集

可以看出来，S3的所有子群中，只有C3是正规子群，C3是3阶循环群，可解。

对于群G的子群H生成的左（右）陪集中的任意元素c, 再次左（右）乘子群，得到的仍然是原陪集。

证明：

1.设g属于G，h属于H，生成的左陪集中的元素 $gh$ ,则 $ghH =g(hH) =gH$ ，所以左陪集中的元素再次左乘子群，得到的仍然是原左陪集。

2.设g属于G，h属于H，生成的右陪集中的元素 $hg$ ,则 $Hhg =(Hh)g =Hg$ ，所以右陪集中的元素再次右乘子群，得到的仍然是原右陪集。

以S3为例，其 $\{e \ \ r^2f \}$ 的其中一个右陪集 $\{r \ \ rf \}$ ,则 $\{e \ \ r^2f \}r = \{r \ \ rf \}$ ， $\{e \ \ r^2f \}rf = \{rf \ \ r\}$

成立。

前面提到，全体整数在加法操作下构成群，叫做整数加法群，记做：《Z，+》或者《Z，+，0》，其中后者表示法把单位元也表示了出来。

考虑到整数加法群，《Z，+》自然可以想到，在偶整数上做加法可以成群，如0+2=2，2+4=6…，定义偶数集合 O={2Z,Z属于任意整数}为整数上的所有偶数，则《O，+》或者《O，+，0》是《Z，+》的子群。记为H。

为了验证上面的定义，我们取H的陪集1H = {E, E属于2Z+1}，1左乘H得到的是全体奇数的集合，全体奇数集合是H的左陪集（其实也是右陪集）。

我们从全体奇数中取一个元素，左乘作用在H上，相当于将H中的一个元素+奇数，由于H是全体偶数的集合，偶数+奇数还是奇数，所以作用后仍然属于奇数陪集，定理得到证明。

五次方程没有根解析式的图形化理解

群 $A_5$ 是回到这个问题的关键，用如下两个偶置换，这两个生成元分别是由单位元经过四次对换和两次对换生成的，所与都是偶置换。

由上述两个偶置换作为生成元绘制出来的A5群为足球形状，其中一个5阶子群的元素构成足球上的一个正五边形,也就是下图中的蓝色箭头围成的正五边形，它的元素包括：

H={(0 1 2 3 4), (1 2 3 4 0), (2 3 4 0 1), (3 4 0 1 2), (4 0 1 2 3)};

这是一个五阶循环子群，它相对于绿色箭头，也就是(0 1) (2 3)作用的左陪集为：

{(0 1) (2 3)}*H = {(0 1) (2 3)}*{(0 1 2 3 4), (1 2 3 4 0), (2 3 4 0 1), (3 4 0 1 2), (4 0 1 2 3)}

= {(1 0 3 2 4), (2 1 4 3 0), (3 2 0 4 1), (4 3 1 0 2), (0 4 2 1 3)}

左陪集也就是下图中橙色箭头指向的五个元素的集合。

现在来看一看{(0 1) (2 3)}作用下，H子群的右陪集：

H*{(0 1) (2 3)} = {(0 1 2 3 4), (1 2 3 4 0), (2 3 4 0 1), (3 4 0 1 2), (4 0 1 2 3)}*{(0 1) (2 3)} =

{(1 0 3 2 4), (0 3 2 4 1), (3 2 4 1 0), (2 4 1 0 3), (4 1 0 3 2)}

现在结论很明显了，H子群的陪集是和子群形态和结构完全一样的正五边形，如果H是正规的，那么H的左陪集（橙色五个元素）应该和右陪集的五个元素重合，但是我们看到，H的左陪集的五个元素分别进入了五个不同的右陪集，而并非进入同一个右陪集合。

所以从这个角度来讲，至少H不是正规的，H是更基本的A5对称构件，其实无论怎样寻找，A5的所所有子群都没有左右陪集对称的形态，也就是说，A5的所有子群都没有正规的，A5已经是S5中对称的基本构件了，在除此之外，S5中在也找不到其他的对称了，A5是单群。

正因为这样结构的差异，导致一般五次方程不可解。

资源

https://zhuanlan.zhihu.com/p/605893862

https://zhuanlan.zhihu.com/p/569454833

值得收藏！正方体11种展开图及口诀、动画

https://www.ism.ac.jp/~fukumizu/MLSS2024_OIST_fukumizu.pdf

百度安全验证

群论系列(一)：群论简介 | Blog de Hqak (WXYHLY)

有限单群：一段百年征程 | fwjmath的相空间

群论基础速成（6）：五大著名群族_群论的可视化方法 pan-CSDN博客

https://zhuanlan.zhihu.com/p/677555329

https://v.youku.com/v_show/id_XMTUwMzc0MzMzNg==.html?spm=a2hzp.8244740.userfeed.5!3~5~5~5!3~5~A

https://www.zhihu.com/question/387860666/answer/3572206393

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%BE%A4

奥数平移知识点总结

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