神聖的綫性代數速成例題10. N維矢量綫性運算、矢量由矢量組綫性表示、N個N維矢量相關性質

N 維矢量綫性運算：
- 設 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ ， $\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 是 $n$ 維矢量， $k$ 是數。
- 加法： $\alpha + \beta=(a_1 + b_1,a_2 + b_2,\cdots,a_n + b_n)$ 。
- 數乘： $k\alpha=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$ 。
矢量由矢量組綫性表示：
- 設 $\alpha,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 是n維矢量，若存在一組數 $k_1,k_2,\cdots,k_m$ ，使得 $\alpha = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m$ ，則稱矢量 $\alpha$ 可由矢量組 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 綫性表示。
N 個 N 維矢量相關性質：
- n個n維矢量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 綫性相關的充要條件是由這n個矢量構成的矩陣 $A = (\alpha_1^T,\alpha_2^T,\cdots,\alpha_n^T)$ （將矢量作為列向量構成矩陣）的行列式 $\vert A\vert = 0$ ；n個n維矢量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 綫性無關的充要條件是 $\vert A\vert\neq 0$ 。

例題解析：

1.已知 $\alpha=(1,2,3)$ ， $\beta=(4,5,6)$ ，求 $\alpha + \beta$ 和 $3\alpha$ 。

解： $\alpha + \beta=(1 + 4,2 + 5,3 + 6)=(5,7,9)$ 。

$3\alpha=(3\times1,3\times2,3\times3)=(3,6,9)$ 。

2.判斷矢量 $\alpha=(1,2,3)$ 是否可由矢量組 $\beta_1=(1,0,0)$ ， $\beta_2=(0,1,0)$ ， $\beta_3=(0,0,1)$ 綫性表示。

解：因為 $\alpha = 1\times\beta_1 + 2\times\beta_2 + 3\times\beta_3=(1,0,0)+(0,2,0)+(0,0,3)=(1,2,3)$ ，所以矢量 $\alpha$ 可由矢量組 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 綫性表示。

3.判斷矢量 $\alpha=(1,1,1)$ 是否可由矢量組 $\beta_1=(1,2,3)$ ， $\beta_2=(2,3,4)$ ， $\beta_3=(3,4,5)$ 綫性表示。

解：設 $\alpha = k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3$ ，即 $(1,1,1)=k_1(1,2,3)+k_2(2,3,4)+k_3(3,4,5)$ 。

得到方程組 $\begin{cases}k_1 + 2k_2 + 3k_3 = 1\\2k_1 + 3k_2 + 4k_3 = 1\\3k_1 + 4k_2 + 5k_3 = 1\end{cases}$ ，對增廣矩陣 $\begin{pmatrix}1&2&3&1\\2&3&4&1\\3&4&5&1\end{pmatrix}$ 進行初等行變換，第二行減去第一行的2倍，第三行減去第一行的3倍，得到 $\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&-1&-2&-1\\0&-2&-4&-2\end{pmatrix}$ ，第三行減去第二行的2倍，得到 $\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&-1&-2&-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ 。令 $k_3 = t$ ，則 $k_2 = 2t - 1$ ， $k_1 = 1 - 2(2t - 1) - 3t = 3 - 7t$ ，所以存在無數組解，矢量 $\alpha$ 可由矢量組 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 綫性表示。

4.判斷3個3維矢量 $\alpha_1=(1,2,3)$ ， $\alpha_2=(2,3,4)$ ， $\alpha_3=(3,4,5)$ 是否綫性相關。

解：構成矩陣 $A = \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$ ， $\vert A\vert = 1\times\begin{vmatrix}3&4\\4&5\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&4\\3&5\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2&3\\3&4\end{vmatrix}$ $=1\times(15 - 16)-2\times(10 - 12)+3\times(8 - 9)= - 1 + 4 - 3 = 0$ ，

所以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 綫性相關。

5.判斷3個3維矢量 $\alpha_1=(1,0,0)$ ， $\alpha_2=(0,1,0)$ ， $\alpha_3=(0,0,1)$ 是否綫性相關。

解：構成矩陣 $A = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ ， $\vert A\vert = 1\times1\times1 = 1\neq 0$ ，所以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 綫性無關。

6.已知矢量 $\alpha=(3,4,5)$ ， $\beta=(1,1,1)$ ， $\gamma=(2,3,4)$ ，求 $2\alpha - 3\beta + \gamma$ 。

解： $2\alpha=(2\times3,2\times4,2\times5)=(6,8,10)$ ， $3\beta=(3\times1,3\times1,3\times1)=(3,3,3)$ 。

則 $2\alpha - 3\beta + \gamma=(6 - 3 + 2,8 - 3 + 3,10 - 3 + 4)=(5,8,11)$ 。

7.判斷矢量 $\alpha=(4,5,6)$ 是否可由矢量組 $\beta_1=(1,1,1)$ ， $\beta_2=(1,2,3)$ ， $\beta_3=(1,3,6)$ 綫性表示。

解：設 $\alpha = k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3$ ，即 $(4,5,6)=k_1(1,1,1)+k_2(1,2,3)+k_3(1,3,6)$ 。

得到方程組 $\begin{cases}k_1 + k_2 + k_3 = 4\\k_1 + 2k_2 + 3k_3 = 5\\k_1 + 3k_2 + 6k_3 = 6\end{cases}$ ，對增廣矩陣 $\begin{pmatrix}1&1&1&4\\1&2&3&5\\1&3&6&6\end{pmatrix}$ 進行初等行變換，第二行減去第一行，第三行減去第一行，得到 $\begin{pmatrix}1&1&1&4\\0&1&2&1\\0&2&5&2\end{pmatrix}$ ，第三行減去第二行的2倍，得到 $\begin{pmatrix}1&1&1&4\\0&1&2&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$ 。

回代可得 $k_3 = 0$ ， $k_2 = 1$ ， $k_1 = 3$ ，所以矢量 $\alpha$ 可由矢量組 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 綫性表示。

8.已知n個n維矢量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 綫性無關，若 $\beta = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$ ，判斷矢量組 $\beta,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是否綫性無關。

解：設 $k_1\beta + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$ ，即 $k_1(\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n)+k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$ ，整理得 $k_1\alpha_1 + (k_1 + k_2)\alpha_2 + \cdots + (k_1 + k_n)\alpha_n = 0$ 。

因為 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 綫性無關，所以 $k_1 = 0$ ，且 $k_1 + k_2 = 0$ ， $\cdots$ ， $k_1 + k_n = 0$ ，從而 $k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$ ，所以矢量組 $\beta,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 綫性無關。