多元微分学中可微、连续、存在问题

一、偏导存在

与一元证明相同，利用偏导定义式，证明偏导数左右极限存在且相同。

$lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0} = A$

二、偏导连续

与一元证明相同，证明 $lim_{x \rightarrow x_{0}}f`_{x}(x,y_{0}) = f`_{x}(x_{0},y_{0})$

三、极限存在

1、找一条路径，一般地找 y = kx

2、代入f(x,y)，得f(x,kx)

3、证明f(x,kx)极限存在

注意： $lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x,y_{0})$ 存在且 $lim_{y\rightarrow y_{0}}f(x_{0},y)$ 存在

无法说明 $lim_{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}f(x,y)$ 存在

也无法说明圆域有定义，连续。

四、连续

与一元证明相同，证明 $lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x,y_{0}) = f(x_{0},y_{0})$

五、可微

1、证明 $lim_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0 +\Delta y)-f(x_0,y_0)-[f`(x_0,y_0)\Delta x+f`y(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$ 存在

2、若可微，则方向导数存在

注意：不可微✖️不可微不一定得到不可微，同样可微✖️不可微也不一定得到不可微，

如，若可微✖️不可微，若是 $f(x,y)=\varphi(x,y)\psi (x,y)$ 可微的充要条件为 $\varphi(x_0,y_0)=0$