Pearson 相关系数的可视化辅助判断和怎么用

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Pearson 相关系数 是一种用于衡量两个连续型变量之间线性相关程度的统计量。其定义为两个变量协方差与标准差的乘积的比值。公式如下：$$r=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2\sum (y_i-\bar{y}{)}^2}}$$
其中：

• $x_i$ 和 $y_i$ 分别是变量 X 和 Y 的观测值。

• $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别是 X 和 Y 的均值。

取值范围为 [-1, 1]：

• 1 表示完全正相关。

• -1 表示完全负相关。

• 0 表示无线性相关。
  

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns# 生成样本数据
np.random.seed(0)
x = np.random.randn(100)
y1 = 2 * x + np.random.randn(100)  # 正相关
y2 = -2 * x + np.random.randn(100) # 负相关data = pd.DataFrame({'x': x, 'y1': y1, 'y2': y2})# 绘图
plt.figure(figsize=(12, 6))# 正相关
plt.subplot(1, 2, 1)
sns.regplot(x='x', y='y1', data=data, scatter_kws={'color': 'blue'}, line_kws={'color': 'red'})
plt.title('Positive Correlation')# 负相关
plt.subplot(1, 2, 2)
sns.regplot(x='x', y='y2', data=data, scatter_kws={'color': 'blue'}, line_kws={'color': 'red'})
plt.title('Negative Correlation')plt.show()

在零均值化处理之后，Pearson 相关系数的计算公式与 Cosine 相似度的计算公式本质上变得相同

可视化辅助判断相关性

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity# 生成样本数据
np.random.seed(0)
x = np.random.randn(100)
y1 = 2 * x + np.random.randn(100)  # 正相关
y2 = -2 * x + np.random.randn(100) # 负相关
y = 0.5 * x**2 + np.random.randn(100)  # 非线性相关data = pd.DataFrame({'x': x, 'y1': y1, 'y2': y2, 'y': y})# 绘图
plt.figure(figsize=(18, 6))# 正相关
plt.subplot(1, 3, 1)
sns.regplot(x='x', y='y1', data=data, scatter_kws={'color': 'blue'}, line_kws={'color': 'red'})
plt.title('Positive Correlation')# 负相关
plt.subplot(1, 3, 2)
sns.regplot(x='x', y='y2', data=data, scatter_kws={'color': 'blue'}, line_kws={'color': 'red'})
plt.title('Negative Correlation')# 非线性相关
plt.subplot(1, 3, 3)
sns.scatterplot(x='x', y='y', data=data, color='blue')
plt.title('Nonlinear Correlation')plt.show()# 热图（Heatmap）
corr_matrix = data.corr()
sns.heatmap(corr_matrix, annot=True, cmap='coolwarm', vmin=-1, vmax=1)
plt.title('Correlation Matrix Heatmap')
plt.show()# 散点图矩阵（Pair Plot）
sns.pairplot(data)
plt.show()# 计算 Pearson 相关系数与 Cosine 相似度
x_mean = x - np.mean(x)
y_mean = y1 - np.mean(y1)
pearson_corr = np.corrcoef(x, y1)[0, 1]
cosine_sim = cosine_similarity([x_mean], [y_mean])[0, 0]print(f'Pearson 相关系数: {pearson_corr}')
print(f'Cosine 相似度: {cosine_sim}')

Pearson 相关系数与Cosine 相似度 的比较

Pearson 相关系数

Pearson 相关系数衡量的是两个变量之间的线性相关性，具体公式为：
$$r=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2\sum (y_i-\bar{y}{)}^2}}$$其中，$x_i$ 和 $y_i$ 是变量 $X$ 和 $Y$ 的观测值，$\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的均值。
Pearson 相关系数的取值范围是 [-1, 1]：

• 1 表示完全正相关。

• -1 表示完全负相关。

• 0 表示没有线性相关性。

Cosine 相似度

Cosine 相似度主要用于衡量两个向量在向量空间中的方向相似度，公式为：
$$\text{Cosine Similarity}=\frac{\sum x_i{y}_i}{\sqrt{\sum x_i^2\sum y_i^2}}$$
取值范围是 [0, 1]：

• 1 表示两个向量完全同向。

• 0 表示两个向量完全不相关。

当向量经过零均值化处理后，对两个变量 $X$ 和 $Y$ 进行零均值化处理（即将它们的均值减去），那么 Pearson 相关系数和 Cosine 相似度是相等的。

import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity# 生成样本数据
np.random.seed(0)
x = np.random.randn(100)
y = 2 * x + np.random.randn(100)# 0 均值化
x_mean = x - np.mean(x)
y_mean = y - np.mean(y)# 计算 Pearson 相关系数
pearson_corr = np.corrcoef(x, y)[0, 1]# 计算 Cosine 相似度
cosine_sim = cosine_similarity([x_mean], [y_mean])[0, 0]print(f'Pearson 相关系数: {pearson_corr}')
print(f'Cosine 相似度: {cosine_sim}')

Pearson 相关系数: 0.9006752160894267
Cosine 相似度: 0.9006752160894267

Pearson 相关系数的使用条件

1. 线性关系：
   Pearson 相关系数适用于度量两个变量之间的线性关系。如果变量之间的关系是非线性的，Pearson 相关系数可能无法准确反映它们的相关性。

2. 连续变量：
   适用于连续型变量。对于分类变量或离散型变量，应该使用其他相关性度量方法，如 Spearman 相关系数或 Kendall 相关系数。

3. 正态分布：
   变量应该大致符合正态分布。如果变量显著偏离正态分布，可以考虑进行数据变换（如对数变换）或使用非参数方法（如 Spearman 相关系数）。

4. 独立性：
   变量应该是独立的。相关系数度量的是两个变量之间的关系，而不是因果关系。因此，两个变量的独立性是一个基本假设。

5. 方差不为零：
   变量的方差不应该为零。如果一个变量的方差为零，那么所有观测值都是相同的，无法计算相关性。

Pearson 相关系数的使用注意事项

1. 敏感性：
   Pearson 相关系数对异常值非常敏感。少量的异常值可能会显著影响相关系数的值，因此在计算相关系数之前，应处理异常值（如删除或平滑处理）。

2. 线性相关性：
   Pearson 相关系数只能度量线性相关性。如果两个变量之间存在复杂的非线性关系，Pearson 相关系数可能无法准确反映它们的相关性。应结合散点图等可视化手段来判断是否存在线性关系。

3. 范围限制：
   Pearson 相关系数的取值范围在 [-1, 1] 之间。绝对值接近 1 表示强线性相关性，接近 0 表示弱线性相关性。然而，接近 0 的相关系数并不一定意味着变量之间没有关系，可能存在非线性关系。

4. 数据清洗：
   在计算相关系数之前，需对数据进行清洗，包括处理缺失值、异常值和确保数据满足正态分布等条件。

5. 样本大小：
   Pearson 相关系数的可靠性依赖于样本大小。较小的样本可能导致不稳定的相关系数，因此需要足够大的样本量以获得可靠的估计。

6. 因果关系：
   Pearson 相关系数只能反映变量之间的相关性，不能推断因果关系。即使两个变量之间存在高相关性，也不能直接说明一个变量导致了另一个变量的变化。