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一、树

1.1 树的概念与结构

• 树是⼀种⾮线性的数据结构，它是由 n（n>=0） 个有限结点组成⼀个具有层次关系的集合。把它叫做 树是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，⽽叶朝下的。
• 有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
• 除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm ，其中每⼀个集合 Ti(1 <= i <= m) ⼜是⼀棵结构与树类似的⼦树。每棵⼦树的根结点有且只有⼀个前驱，可以有 0 个或多个后继。因此，树是递归定义的。

 树形结构中，⼦树之间不能有交集，否则就不是树形结构

•  ⼦树是不相交的（如果存在相交就是图了，图以后得课程会有讲解）
• 除了根结点外，每个结点有且仅有⼀个⽗结点
• ⼀棵N个结点的树有N-1条边

1.2 树的相关术语

•  ⽗结点/双亲结点：若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点； 如上图：A是B的⽗结点
• ⼦结点/孩⼦结点：⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点； 如上图：B是A的孩⼦结点
• 结点的度：⼀个结点有⼏个孩⼦，他的度就是多少；⽐如A的度为6，F的度为2，K的度为0
• 树的度：⼀棵树中，最⼤的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6
• 叶⼦结点/终端结点：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B、C、H、I... 等结点为叶结点
• 分⽀结点/⾮终端结点：度不为 0 的结点； 如上图： D、E、F、G... 等结点为分⽀结点
• 兄弟结点：具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)； 如上图： B、C 是兄弟结点结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的⼦结点为第 2 层，以此类推；
• 树的⾼度或深度：树中结点的最⼤层次； 如上图：树的⾼度为 4
• 结点的祖先：从根到该结点所经分⽀上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先
• 路径：⼀条从树中任意节点出发，沿⽗节点-⼦节点连接，达到任意节点的序列；⽐如A到Q的路径为：A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q
• ⼦孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。如上图：所有结点都是A的⼦孙
• 森林：由 m（m>0） 棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

  孩⼦兄弟表⽰法：

struct TreeNode{struct Node* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点struct Node* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点int data; // 结点中的数据域};

二、二叉树 

2.1 二叉树的概念与结构

1.  ⼆叉树不存在度⼤于 2 的结点
2.  ⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒，因此⼆叉树是有序树

2.2特殊的二叉树

满二叉树

 ⼀个⼆叉树，如果每⼀个层的结点数都达到最⼤值，则这个⼆叉树就是满⼆叉树。也就是说，如果⼀个⼆叉树的层数为 K ，且结点总数是 2 k − 1 ，则它就是满⼆叉树。

完全二叉树

 完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为K的满⼆叉树中编号从 1 ⾄ n 的结点⼀⼀对应时称之为完全⼆叉树。要注意的是满⼆叉树是⼀种特殊的完全⼆叉树。

（假设二叉树层次为 k ，除了第 k 层外，每层结点的个数达到最大结点数，第 k 层结点个数不一定达到最大结点数）

 2.3 二叉树的存储结构

• 顺序结构存储就是使⽤数组来存储，⼀般使⽤数组只适合表⽰完全⼆叉树，因为不是完全⼆叉树会有空间的浪费，完全⼆叉树更适合使⽤顺序结构存储。

三、实现顺序结构二叉树

3.1 堆的概念与结构

小根堆                                                        大根堆

• 堆中某个结点的值总是不⼤于或不⼩于其⽗结点的值；
• 堆总是⼀棵完全⼆叉树。

 3.2 堆的实现

以小根堆为例子：

Heap.h

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>//定义堆的结构---数组typedef int HPDataType;typedef struct Heap
{HPDataType* arr;int size;//有效的数据个数int capacity;//空间大小
}HP;//初始化
void HPInit(HP* php);//销毁
void HPDestroy(HP* php);//堆的插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x);//出堆，删除堆顶数据
void HPPop(HP* php);//返回堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php);// 判空
bool HPEmpty(HP* php);

Heap.c

默认初始化堆

void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}

堆的销毁

void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);if (php->arr){free(php->arr);php->arr = NULL;php->capacity = php->size - 0;}
}

堆的插入

    如果要在下一个数据 “50” 到 arr【6】的位置上就不满足小堆的特性，

此时我们就要用到：堆的向上调整算法

void swap(int* x, int* y)
{int z = *x;*x = *y;*y = z;
}void Adjustup(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (arr[child] < arr[parent])             //如果插入的数据大小小于他的父节点{swap(&arr[child], &arr[parent]);      //交换child = parent;                       //交换后的孩结点来到原来他的父节点的位置  parent = 2 * child - 1;}else{break;}}
}void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//判断空间是否足够if (php->size == php->capacity){//扩容int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp  == NULL){perror("realloc fail!");exit(1);}php->arr = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->arr[php->size] = x;php->size++;Adjustup(php->arr, php->size - 1);
}

 

 删除堆顶数据

    如果直接删除 arr【0】，就会改变原先堆的结构，所以我么可以先先将头和尾的数据交换，在删除 arr【5】，但是又有问题出现。交换删除后的数据有可能不满足小堆的特性，此时就要用到:堆的向下调整算法 

void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;  //左孩子while (child < n)     //这里注意循环的条件{//找左右孩子中找最小的if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[child] < arr[parent]){swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void HPPop(HP* php)
{assert(php && php->size);//arr[0]         arr[size-1]swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->arr, 0, php->size);}

test.c

最后测试一下代码的实现

#include"Heap.h"void Hptest()
{HP hp;HPInit(&hp);int arr[] = { 17,25,60,54,30,70 };for (int i = 0; i < 6; i++){HPPush(&hp, arr[i]);}HPPop(&hp);
}int main()
{Hptest();return 0;
}

3.3 堆的应用

堆排序 

方法一：基于已有数组建堆、取堆顶元素完成排序版本

// 1、需要堆的数据结构
// 2、空间复杂度 O(N)
void HeapSort(int* a, int n)
{HP hp;for(int i = 0; i < n; i++){HPPush(&hp,a[i]);}int i = 0;while (!HPEmpty(&hp)){a[i++] = HPTop(&hp);HPPop(&hp);}HPDestroy(&hp);
}

方法二：

// 升序，建⼤堆
// 降序，建⼩堆
// O(N*logN)
void HeapSort(int* a, int n){// a数组直接建堆 O(N)for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; --i){AdjustDown(a, n, i);}// O(N*logN)int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);--end;}}

未完待续~