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前言

上一篇文章对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

本篇文章介绍的就是平衡树之一的：AVL树。

注意：本篇文章AVL树实现的 key_value 模型。因为实际上 map/set 的底层并不是用AVL树封装的，而是用红黑树（下一篇文章），在红黑树的部分我们再对 key 和 key_value 模型进行更深层次的封装。

一，AVL树的概念

对于二叉搜索树极端情况下查找效率低下的问题，有大佬提出了这样的解决方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

(1) 它的左右子树都是AVL树；
(2) 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
$O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

二，AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

(1) 三叉链：左子树，右子树，父亲。
(2) 平衡因子：一般情况下是，右子树高度 - 左子树高度。
(3) key_value 模型的 pair 类型的数据。

template<class K, class V>
struct AVLTNode
{pair<K, V> _kv;AVLTNode<K, V>* _left;AVLTNode<K, V>* _right;AVLTNode<K, V>* _parent;int _bf; //平衡因子：右子树高度- 左子树高度AVLTNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};

三，AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

3.1 第一步

先按照二叉搜索树的方式插入新节点：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}elsereturn false;}cur = new Node(kv);//链接时要判断链接在左还是右if (parent->_kv.first > kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;cur->_parent = parent;// 调节平衡因子……return true;
}

3.2 第二步

再调整节点的平衡因子：

根据插入情况来更新 parent 的平衡因子，并且根据平衡因子来判断是否破坏了AVL树的平衡性。

重点分析：

在插入之前，parent 的平衡因子可能为：-1，0或1。插入分以下两种情况：

(1) 如果 cur 插入到 parent 的左侧，只需给 parent 的平衡因子 -1 即可

(2) 如果 cur 插入到 parent 的右侧，只需给parent 的平衡因子 +1 即可

插入后，此时：parent 的平衡因子可能为：0，正负1， 正负2。对应下面三种情况：

(1) 如果 parent 的平衡因子为0，说明插入之前 parent 的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功，停止检查；

(2) 如果 parent 的平衡因子为正负1，说明插入前 parent 的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以 parent 为根的树的高度增加，需要继续向上更新检查；

(3) 如果 parent 的平衡因子为正负2，则 parent 的平衡因子违反平衡树的性质，此时需要对其进行旋转处理

//调节平衡因子……续上文代码//从cur开始，一直向上更新。根据cur是parent的左或右，
// 对parent的平衡因子--或++
while (parent)
{if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0)break; // 此时平衡了，停止更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 旋转操作……}
}

四，AVL树的旋转

如果 parent 的平衡因子为正负2，此时必须调整树的结构，使之平衡化。

根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种，下面将通过抽象图与具象图进行详细介绍：

说明：下面的抽象图中 a/b/c/d 表示AVL树，h/h+1 表示树的高度， h >= 0。

4.1 右单旋

新节点插入较高左子树的左侧 — 左左：右单旋

抽象图：

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

(1) 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在；

(2) 60可能是根节点，也可能是子树。如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点，如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。

具象图：

具象图的实际情况有无穷多种，这里用 h == 1 来说明情况。

插入新增后向上检查变到第二个图，此时需要旋转，把30的右子树拿给60当左子树，60的左边太高了，把它向下压降低高度，把60那个子树拿给30当右子树。

代码实现如下：

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;if (subLR)subLR->_parent = parent;parent->_left = subLR;subL->_right = parent;//改变之前记录Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;//parent为根if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{//parent为一颗子树if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subL;elseppNode->_right = subL;subL->_parent = ppNode;}parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

4.2 左单旋

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

实现及情况考虑可参考右单旋。

抽象图：

具象图：

代码实现如下：

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;if (subRL)subRL->_parent = parent;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;//parent为根if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{//parent为一颗子树if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subR;elseppNode->_right = subR;subR->_parent = ppNode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

4.3 右左双旋

新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋。

抽象图：

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对90进行右单旋，然后再对30进行左单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

具象图：

有了上面的左单旋，右单旋，双旋可以直接复用，双旋后麻烦的是平衡因子的更新，又有三种情况：

旋转前保存 subRL 的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子。

代码实现如下：

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right); // 经过这个单旋，变成单纯的右边高RotateL(parent);if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}elseassert(false);
}

4.4 左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋。

抽象图：

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。

具象图：

代码实现如下：

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL); // 经过这个单旋，变成单纯的右边高RotateR(parent);if (bf == -1){subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0){subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}elseassert(false);
}

4.5 插入代码的完整实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}elsereturn false;}cur = new Node(kv);//链接时要判断链接在左还是右if (parent->_kv.first > kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;cur->_parent = parent;//更新平衡因子//从cur开始，一直向上更新。根据cur是parent的左或右，// 对parent的平衡因子--或++while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0)break; // 此时平衡了，停止更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//当前子树出现了问题，需要旋转平衡一下if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){//单纯左边高，右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){//单纯右边高，左单旋RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){//右左双旋RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//左右双旋RotateLR(parent);}//旋转完成后，就不要继续向上更新了，因为此时已经达到了平衡，// 并且旋转后高度不变，不影响上面的父亲了break;}elseassert(false);}return true;
}

4.6 旋转总结

总结：
假如以 parent 为根的子树不平衡，即 parent 的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：

(1) parent 的平衡因子为2，说明 parent 的右子树高，设 parent 的右子树的根为 subR：
当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋，
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋。

(2) parent 的平衡因子为-2，说明 parent 的左子树高，设 parent 的左子树的根为 subL：
当 subL 的平衡因子为-1是，执行右单旋，
当 subL 的平衡因子为1时，执行左右双旋。

顺口溜：parent 和 subL/subR 的平衡因子，同号单旋，异号双旋。

旋转完成后，原 parent 为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

五，AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

(1) 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

(2) 验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确。

代码实现如下：

public://中序遍历void Inorder(){_Inorder(_root);cout << endl;}//检查是否平衡bool Is_balance(){return _Is_balance(_root);}private:int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return max(_Height(root->_left) , _Height(root->_right)) + 1;}bool _Is_balance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);//判断左右子树的高度差if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2){cout << root->_kv.first << endl;return false;}return _Is_balance(root->_left) && _Is_balance(root->_right);}void _Inorder(Node* root){if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_Inorder(root->_right);}

六，实现AVL树的完整代码

AVLTree.h

#pragma once#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <algorithm>
using namespace std;template<class K, class V>
struct AVLTNode
{pair<K, V> _kv;AVLTNode<K, V>* _left;AVLTNode<K, V>* _right;AVLTNode<K, V>* _parent;int _bf; //平衡因子：右子树高度- 左子树高度AVLTNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTNode<K, V> Node;
public:Node* Find(const pair<K, V>& kv){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first)cur = cur->_left;else if (cur->_kv.first < kv.first)cur = cur->_right;elsereturn cur;}return nullptr;}bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}elsereturn false;}cur = new Node(kv);//链接时要判断链接在左还是右if (parent->_kv.first > kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;cur->_parent = parent;//更新平衡因子//从cur开始，一直向上更新。根据cur是parent的左或右，// 对parent的平衡因子--或++while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0)break; // 此时平衡了，停止更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//当前子树出现了问题，需要旋转平衡一下if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){//单纯左边高，右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){//单纯右边高，左单旋RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){//右左双旋RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//左右双旋RotateLR(parent);}//旋转完成后，就不要继续向上更新了，因为此时已经达到了平衡，// 并且旋转后高度不变，不影响上面的父亲了break;}elseassert(false);}return true;}//右单旋void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;if (subLR)subLR->_parent = parent;parent->_left = subLR;subL->_right = parent;//改变之前记录Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;//parent为根if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{//parent为一颗子树if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subL;elseppNode->_right = subL;subL->_parent = ppNode;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}//左单旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;if (subRL)subRL->_parent = parent;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;//parent为根if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{//parent为一颗子树if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subR;elseppNode->_right = subR;subR->_parent = ppNode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}//右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right); // 经过这个单旋，变成单纯的右边高RotateL(parent);if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}elseassert(false);}//左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL); // 经过这个单旋，变成单纯的右边高RotateR(parent);if (bf == -1){subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0){subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}//中序遍历void Inorder(){_Inorder(_root);cout << endl;}//检查是否平衡bool Is_balance(){return _Is_balance(_root);}private:int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return max(_Height(root->_left) , _Height(root->_right)) + 1;}bool _Is_balance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);//判断左右子树的高度差if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2){cout << root->_kv.first << endl;return false;}return _Is_balance(root->_left) && _Is_balance(root->_right);}void _Inorder(Node* root){if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_Inorder(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};void Test1()
{int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };AVLTree<int, int> t;for (auto e : a)t.Insert({e ,e});t.Inorder();cout << t.Is_balance() << endl;
}

Test.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include "AVLTree.h"int main()
{Test1();return 0;
}

运行结果：

中序遍历是有序的，说明是搜索二叉树，返回1，说明是平衡树。