1. 矩阵乘法

一个r×n的矩阵A和一个n×c的矩阵B相乘，它们的结果AB将会是一个r×c大小的矩阵，不满足此规则不能相乘
矩阵乘法满足一些性质

• 矩阵乘法不满足交换律
  即AB≠BA
• 矩阵乘法满足结合律
  (AB)C=A(BC)

2. 特殊矩阵

• 方块矩阵
  指行和列数目相等的矩阵，最常用的是3×3和4×4方阵，如果一个矩阵除了对角元素外的所有元素都为0，那么这个矩阵就叫对角矩阵

• 单位矩阵
  一个特殊的对角矩阵是单位矩阵，一个3×3的单位矩阵如下
  
  任何矩阵和单位矩阵相乘的结果都是原来的矩阵
  

• 转置矩阵
  给定一个r×c矩阵M，转置为$M^T$，这是一个c×r的矩阵
  其有两个性质
  性质一：矩阵转置的转置等于原矩阵
  性质二：矩阵串接的转置，等于反向串接各个矩阵的转置，即
  $(AB{)}^T$=$B^T$$A^T$

• 逆矩阵
  不是所有矩阵都有逆矩阵，前提是该矩阵必须是一个方阵
  满足$M$$M^{-1}$=$M^{-1}M$=$I$
  其有四个性质
  性质一：逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身
  $(M^{-1}{)}^{-1}=M$
  性质二：单位矩阵的逆矩阵是它本身
  $I^{-1}=I$
  性质三：转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置
  $(M^T{)}^{-1}$=$(M^{-1}{)}^T$
  性质四：矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵
  $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

• 正交矩阵
  如果一个方阵$M$和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵的话，这个矩阵就是正交的
  $M{M}^T=M^{T}M=I$
  如果一个矩阵是正交的，那么它的转置矩阵和逆矩阵是一样的
  $M^T=M^{-1}$

3. 行矩阵还是列矩阵

在Unity中，常规做法是把矢量放在矩阵右侧，即把矢量转换成列矩阵来进行运算，这意味着，矩阵乘法通常是右乘
$CBAv=(C(B(Av)))$
阅读顺序从右往左，上面等价于
$v{A}^T{B}^T{C}^T=(((v{A}^T)B^T)C^T)$

4. 矩阵变换

• 变换
  线性变换指那些可以保留矢量加和标量乘的变换，即
  $f(x)+f(y)=f(x+y)$
  $kf(x)=f(kx)$
  缩放就是一种线性变换，旋转也是，对于线性变换来说，如果要对一个三维矢量进行变换，那么仅仅3x3的矩阵就可以表示所有线性变换，线性变换除了旋转和缩放，还包括错切，镜像，正交投影等
  平移变换不是一个线性变换，这样，就有了仿射变换，就是合并线性变换和平移变换的类型，仿射变换可以用一个4x4的矩阵表示，为此，需要把矢量扩展到四维空间下，这就是齐次坐标空间

• 齐次坐标
  对于一个点，从三维坐标转换成齐次坐标是把其$w$分量设为1，而对于方向矢量来说，需要把其$w$分量设置为0
  我们把表示纯平移，纯旋转，纯缩放的的变换矩阵叫做基础变换矩阵，一个基础变换矩阵可以分解成4个部分：
  $$\left[\begin{array}{cc}{M}_{3\times 3}& t_{3\times 1}\\ 0_{1\times 3}& 1\end{array}\right]$$
  左上角的矩阵$M_{3\times 3}$用于表示旋转和缩放，$t_{3\times 1}$表示平移，$0_{1\times 3}$是0矩阵，即
  $$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]$$
  右下角的元素就是标量1

• 平移矩阵
  可以使用矩阵乘法来表示对一个点的平移变换
  
  如果对一个方向矢量进行平移变化
  
  可以发现，平移变化不会对方向矢量产生影响，即矢量没有位置属性，也就是说它可以位于空间中任意一点

• 缩放矩阵
  对于一个点进行缩放
  
  对于一个方向矢量
  
  如果缩放系数$k_x=k_y=k_z$，这样的缩放为统一缩放，否则为非统一缩放，从外观看，统一缩放是扩大整个模型，而非统一缩放会拉伸或挤压模型，更重要的是，统一缩放不会改变角度和比例信息，而非统一缩放会改变与模型相关的角度和比例，缩放矩阵一般不是正交矩阵

• 旋转矩阵
  如果把点绕x轴旋转，可以使用下面的矩阵：
  
  绕y轴旋转
  
  绕z轴旋转
  
  旋转矩阵是正交矩阵，而且多个旋转矩阵之间的串联同样是正交的

• 复合变换
  在大多数情况下，约定矩阵的变换顺序是先缩放，再旋转，最后平移
  对于旋转来说，在Unity中，旋转的顺序是zxy

5. 坐标空间

• 屏幕空间
  经过投影变换后，进行裁剪操作，当完成了所有裁剪工作后，就需要进行真正的投影了，也就是说需要把视椎体投影到屏幕空间
  首先，需要进行齐次除法，就是用齐次坐标系的$w$分量去除$xyz$分量，在OpenGL中，这一步得到的坐标叫做归一化的设备坐标（NDC），经过这一步后，可以把坐标从齐次裁剪坐标空间转换到NDC中，。经过透视投影变换后的裁剪空间。经过齐次除法后会变换到一个立方体内。按照OpenGL的传统，这个立方体的$xyz$分量的范围都是[-1,1]，但在DX中，$z$的分量范围会是[0,1]。Unity选择的是OpenGL的齐次裁剪空间
  
• 总结