1.3 抽象数据类型的表示与实现

数据类型
数据类型是一组性质相同的值的集合, 以及定义于这个集合上的一组运算的总称。

抽象数据类型(ADTs: Abstract Data Types)

• 更高层次的数据抽象。
• 由用户定义，用以表示应用问题的数据模型。
• 由基本的数据类型组成，并包括一组相关的操作。

抽象数据类型可以用以下的三元组来表示

ADT = （D，S，P）
D:数据对象 S:D上的关系集 P:D上的操作集

ADT常用定义格式

ADT抽象数据类型名{
数据对象：<数据对象的定义>
数据关系：<数据关系的定义>
基本操作 ：<基本操作的定义>
} ADT抽象数据类型名

信息隐蔽和数据封装，使用与实现相分离

抽象数据类型的表示与实现

• 抽象数据类型可以通过固有的数据类型（如整型、实型、字符型等）来表示和实现。
• 它有些类似C语言中的结构（struct)类型，但增加了相关的操作
• 教材中用的是类C语言（介于伪码和C语言之间）作为描述工具
• 但上机时要用具体语言实现，如C或C++等

复数—抽象数据类型的定义

ADT Complex {数据对象：D={e1,e2|e1,e2∈R,R是实数集}数据关系：S={<e1,e2>|e1是复数的实部，e2是复数的虚部}基本操作：Creat(&C,x,y)操作结果：构造复数c,其实部和虚部分别被赋予参数x和y的值。GetReal(C)初始条件：复数c已存在。操作结果：返回复数c的实部值。GetImag(C)初始条件：复数c已存在。操作结果：返回复数c的虚部值。Add(C1,C2)初始条件：C1,C2是复数。操作结果：返回两个复数C1和C2的和。Sub(C1,C2)初始条件：C1,C2是复数。操作结果：返回两个复数c1和C2的差。
} ADT Complex
typedef struct			//复数类型
{float Realpart;     //实部float Imagepart;    //虚部
}Complex;
void Create(&Complex C,float x,float y)
{//构造一个复数
C.Realpart=x;
C.Imagepart=y;
}
float GetReal(Complex C) 
{//取复数C=x+yi的实部return C.Realpart;
}
float GetImag(Complex C)
{//取复数C=x+yi的虚部return C.Imagepart;
}
Complex Add(Complex C1,Complex C2)
{//求两个复数C1和C2的和sumComplex sum;sum.Realpart=C1.Realpart+C2.Realpart;sum.Imagepart=C1.Imagepart+C2.Imagepart;return sum;
}
Complex Sub(Complex C1,Complex C2)
{//求两个复数C1和C2的差differenceComplex difference;difference.Realpart=C1.Realpart-C2.Realpart; difference.Imagepart=C1.Imagepart-C2.Imagepart; return difference;
}

1. 预定义常量及类型

//函数结果状态代码
#define OK 1 
#define ERROR 0 
#define OVERFLOW -2 // Status是函数返回值类型，其值是函数结果状态代码。 typedef  int  Status; 

2. 数据元素被约定为ElemType 类型，用户需要根据具体情况，自行定义该数据类型。
3. 算法描述为以下的函数形式：
   函数类型 函数名（函数参数表）
   {
   语句序列；
   }
4. 内存的动态分配与释放
   使用new和delete动态分配和释放内存空间
   分配空间　指针变量=new数据类型;
   释放空间　delete指针变量;
5. 赋值语句
6. 选择语句
7. 循环语句
8. 使用的结束语句形式有：
   函数结束语句 return
   循环结束语句 break;
   异常结束语句 exit（异常代码）；
9. 输入输出语句形式有：
   输入语句 cin (scanf)
   输出语句 cout (printf)
10. 扩展函数有：
    求最大值 max
    求最小值 min

1.4 算法与算法分析

算法与算法分析
一个有穷的指令集，这些指令为解决某一特定任务规定了一个运算序列

算法的描述
自然语言、流程图、程序设计语言、伪码

算法的特性
输入 有0个或多个输入
输出 有一个或多个输出(处理结果)
确定性 每步定义都是确切、无歧义的
有穷性 算法应在执行有穷步后结束
有效性 每一条运算应足够基本

算法的评价
正确性、可读性、健壮性、高效性（时间代价、空间代价）

算法的效率的度量
用依据该算法编制的程序在计算机上执行所消耗的时间来度量

事后统计
利用计算机内的计时功能，不同算法的程序可以用一组或多组相同的统计数据区分

缺点
必须先运行依据算法编制的程序
所得时间统计量依赖于硬件、软件等环境因素，掩盖算法本身的优劣

事前分析估计
一个高级语言程序在计算机上运行所消耗的时间取决于：

• 依据的算法选用何种策略
• 问题的规模
• 程序语言
• 编译程序产生机器代码质量
• 机器执行指令速度

同一个算法用不同的语言、不同的编译程序、在不同的计算机上运行，效率均不同，——使用绝对时间单位衡量算法效率不合适

时间复杂度的渐进表示法
算法中基本语句重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n),算法的时间量度记作：T(n)=O(f(n)) 。
表示随着n的增大，算法执行的时间的增长率和f(n)的增长率相同，称渐近时间复杂度。
数学符号“O”的定义为：若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n) = O(f(n))表示存在正的常数C和n0，使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤Cf(n)。

算法中重复执行次数和算法的执行时间成正比的语句对算法运行时间的贡献最大
n越大算法的执行时间越长

• 排序：n为记录数
  矩阵：n为矩阵的阶数
  多项式：n为多项式的项数
  集合：n为元素个数
  树：n为树的结点个数
  图：n为图的顶点数或边数

n * n阶矩阵加法

for( i = 0; i < n; i++)for( j = 0; j < n; j++)c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];

语句的频度（Frequency Count ): 重复执行的次数：n*n;

T(n) = O (n₂)

即：矩阵加法的运算量和问题的规模n的平方是同一个量级

分析算法时间复杂度的基本方法
找出语句频度最大的那条语句作为基本语句
计算基本语句的频度得到问题规模n的某个函数f(n)
取其数量级用符号“O”表示

x = 0;  y = 0;
for ( int k = 0; k < n; k ++ )x ++;
for ( int i = 0; i < n; i++ )for ( int j = 0; j < n; j++ )y ++;

T(n) = O(n²)
f(n)=n²

时间复杂度是由嵌套最深层语句的频度决定的

void exam ( float x[ ][ ], int m, int n ) {float sum [ ];for ( int i = 0; i < m; i++ ) { sum[i] = 0.0;                      for ( int j = 0; j < n; j++ ) sum[i] += x[i][j];  }for ( i = 0; i < m; i++ )cout << i << “ : ” <<sum [i] << endl; 
}

T(n) = O(mn)
f(n)=mn

例1：N×N矩阵相乘

for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){c[i][j]=0;	for(k=1;k<=n;k++)c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];}	

T(n) = O(n³)
算法中的基本操作语句为c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];
$$T(n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^{n}1=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}n=\sum _{i=1}^n{n}^2=n^3=O(n^3)$$

例2

for( i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=i; j++) for (k=1; k<=j; k++)x=x+1;

定理1.1
若f(n)=a_mn^m+a_m-1n^m-1+_…+a1n+a0是m次多项式，则T(n)=O(n^m)。
O(n^m)忽略所有低次幂项和最高次幂系数，体现出增长率的含义
$$语句频度=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i\sum _{k=1}^j=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i}j=\sum _{i=1}^n\frac{i(i+1)}{2}=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{i}^2+\sum _{i=1}^{n}i=\frac{1}{2}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

例3：分析以下程序段的时间复杂度

i=1;   //1
while(i<=n)i=i*2;   //2

2^f(n)≤n，即f(n)≤log₂n，取最大值f(n)=log₂n
所以该程序段的时间复杂度T(n) =O(log₂n)

有的情况下，算法中基本操作重复执行的次数还随问题的输入数据集不同而不同
例4：顺序查找，在数组a[i]中查找值等于e的元素，返回其所在位置。

for (i=0;i< n;i++)if (a[i]==e) return i+1;return 0;

最好情况：1次；最坏情况：n；平均时间复杂度为:O(n)

当n取得很大时，指数时间算法和多项式时间算法在所需时间上非常悬殊

时间复杂度T(n)按数量级递增顺序为：

渐进空间复杂度

空间复杂度；算法所需存储空间的度量，记作: S(n)=O(f(n))
其中n为问题的规模(或大小)

算法要占据的空间；算法本身要占据的空间，输入/输出，指令，常数，变量等；算法要使用的辅助空间

例5：将一维数组a中的n个数逆序存放到原数组中。
【算法1】

for(i=0;i<n/2;i++){   t=a[i];a[i]=a[n-i-1];a[n-i-1]=t;} 

S(n) = O(1) 原地工作

【算法2】

for(i=0;i<n;i++)b[i]=a[n-i-1];
for(i=0;i<n;i++)a[i]=b[i];

S(n) = O(n)

小结

1. 数据、数据元素、数据项、数据结构等基本概念
2. 对数据结构的两个层次的理解（逻辑结构、存储结构）
3. 抽象数据类型的表示方法
4. 算法、算法的时间复杂度及其分析的简易方法