【数模修炼之旅】10 遗传算法 深度解析（教程+代码）

接下来 C君将会用至少30个小节来为大家深度解析数模领域常用的算法，大家可以关注这个专栏，持续学习哦，对于大家的能力提高会有极大的帮助。

1 遗传算法介绍及应用

1.1 遗传算法介绍

遗传算法通过模拟自然界的遗传机制（如选择、交叉、变异等）来优化问题的解。它从一组随机生成的初始解（种群）开始，通过迭代的方式不断优化种群中的个体，以期望找到问题的最优解或近似最优解

核心要素：

• • 编码：将问题的解表示为某种形式的字符串（如二进制串），称为染色体或基因型。
  • 初始种群：随机生成一组初始解作为种群的开始。
  • 适应度函数：用于评估种群中每个个体的优劣，通常与目标函数相关。
  • 选择操作：根据适应度函数选择优秀的个体作为父代，用于生成下一代。
  • 交叉操作：通过交叉父代的染色体来生成新的子代个体。
  • 变异操作：以一定的概率对子代个体的染色体进行随机变异，以增加种群的多样性。
• 特点有：
• 直接对结构对象进行操作，不存在求导和函数连续性的限定。
• 具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力。
• 采用概率化的寻优方法，不需要确定的规则就能自动获取和指导优化的搜索空间。

1.2 遗传算法在数模中的应用

• 组合优化问题：
• 如旅行商问题（TSP）、背包问题、调度问题等。遗传算法可以通过编码解空间中的不同组合，并通过选择、交叉和变异操作来寻找最优解或近似最优解。
• 函数优化问题：
• 包括求解函数的最大值、最小值等。遗传算法可以直接对函数的自变量进行编码，并通过不断迭代优化来逼近最优解。
• 参数优化问题：
• 在机器学习、神经网络等领域中，经常需要优化模型的参数以提高性能。遗传算法可以通过对模型参数进行编码，并利用适应度函数来评估不同参数组合的效果，从而找到最优的参数组合。
• 多目标优化问题：
• 在许多实际问题中，往往需要同时优化多个目标。遗传算法可以通过引入多目标进化算法（如NSGA-II）来处理这类问题，通过比较不同解之间的Pareto优劣关系来指导搜索过程。

2 遗传算法的基本步骤

它通过模拟自然界的进化过程，如选择、交叉（也称杂交）、变异等，来寻找问题的最优解。遗传算法的基本步骤可以详细归纳如下：

3 遗传算法代码（matlab+python）

3.1 python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3DDNA_SIZE = 24
POP_SIZE = 200
CROSSOVER_RATE = 0.8
MUTATION_RATE = 0.005
N_GENERATIONS = 50
X_BOUND = [-3, 3]
Y_BOUND = [-3, 3]def F(x, y):return 3*(1-x)**2*np.exp(-(x**2)-(y+1)**2)- 10*(x/5 - x**3 - y**5)*np.exp(-x**2-y**2)- 1/3**np.exp(-(x+1)**2 - y**2)def plot_3d(ax):X = np.linspace(*X_BOUND, 100)Y = np.linspace(*Y_BOUND, 100)X,Y = np.meshgrid(X, Y)Z = F(X, Y)ax.plot_surface(X,Y,Z,rstride=1,cstride=1,cmap=cm.coolwarm)ax.set_zlim(-10,10)ax.set_xlabel('x')ax.set_ylabel('y')ax.set_zlabel('z')plt.pause(3)plt.show()def get_fitness(pop): x,y = translateDNA(pop)pred = F(x, y)return (pred - np.min(pred)) + 1e-3 #减去最小的适应度是为了防止适应度出现负数，通过这一步fitness的范围为[0, np.max(pred)-np.min(pred)],最后在加上一个很小的数防止出现为0的适应度def translateDNA(pop): #pop表示种群矩阵，一行表示一个二进制编码表示的DNA，矩阵的行数为种群数目x_pop = pop[:,1::2]#奇数列表示Xy_pop = pop[:,::2] #偶数列表示y#pop:(POP_SIZE,DNA_SIZE)*(DNA_SIZE,1) --> (POP_SIZE,1)x = x_pop.dot(2**np.arange(DNA_SIZE)[::-1])/float(2**DNA_SIZE-1)*(X_BOUND[1]-X_BOUND[0])+X_BOUND[0]y = y_pop.dot(2**np.arange(DNA_SIZE)[::-1])/float(2**DNA_SIZE-1)*(Y_BOUND[1]-Y_BOUND[0])+Y_BOUND[0]return x,ydef crossover_and_mutation(pop, CROSSOVER_RATE = 0.8):new_pop = []for father in pop:		#遍历种群中的每一个个体，将该个体作为父亲child = father		#孩子先得到父亲的全部基因（这里我把一串二进制串的那些0，1称为基因）if np.random.rand() < CROSSOVER_RATE:			#产生子代时不是必然发生交叉，而是以一定的概率发生交叉mother = pop[np.random.randint(POP_SIZE)]	#再种群中选择另一个个体，并将该个体作为母亲cross_points = np.random.randint(low=0, high=DNA_SIZE*2)	#随机产生交叉的点child[cross_points:] = mother[cross_points:]		#孩子得到位于交叉点后的母亲的基因mutation(child)	#每个后代有一定的机率发生变异new_pop.append(child)return new_popdef mutation(child, MUTATION_RATE=0.003):if np.random.rand() < MUTATION_RATE: 				#以MUTATION_RATE的概率进行变异mutate_point = np.random.randint(0, DNA_SIZE)	#随机产生一个实数，代表要变异基因的位置child[mutate_point] = child[mutate_point]^1 	#将变异点的二进制为反转def select(pop, fitness):    # nature selection wrt pop's fitnessidx = np.random.choice(np.arange(POP_SIZE), size=POP_SIZE, replace=True,p=(fitness)/(fitness.sum()) )return pop[idx]def print_info(pop):fitness = get_fitness(pop)max_fitness_index = np.argmax(fitness)print("max_fitness:", fitness[max_fitness_index])x,y = translateDNA(pop)print("最优的基因型：", pop[max_fitness_index])print("(x, y):", (x[max_fitness_index], y[max_fitness_index]))if __name__ == "__main__":fig = plt.figure()ax = Axes3D(fig)	plt.ion()#将画图模式改为交互模式，程序遇到plt.show不会暂停，而是继续执行plot_3d(ax)pop = np.random.randint(2, size=(POP_SIZE, DNA_SIZE*2)) #matrix (POP_SIZE, DNA_SIZE)for _ in range(N_GENERATIONS):#迭代N代x,y = translateDNA(pop)if 'sca' in locals(): sca.remove()sca = ax.scatter(x, y, F(x,y), c='black', marker='o');plt.show();plt.pause(0.1)pop = np.array(crossover_and_mutation(pop, CROSSOVER_RATE))#F_values = F(translateDNA(pop)[0], translateDNA(pop)[1])#x, y --> Z matrixfitness = get_fitness(pop)pop = select(pop, fitness) #选择生成新的种群print_info(pop)plt.ioff()plot_3d(ax)

3.2 matlab

使用MATLAB内置的遗传算法函数，如ga（全局优化工具箱中的函数）。以下是一个简单的MATLAB代码示例，展示了如何使用ga函数来解决一个优化问题。

然后，编写：

function genetic_algorithm_example  % 定义目标函数（注意：ga默认是最小化问题，所以我们需要取反来最大化）  fitnessFunction = @(x) -(-sin(x(1)) - cos(x(2)));  % 取反来最大化  % 定义变量的边界  nvars = 2;  % 变量数量  LB = -pi * ones(nvars, 1);  % 下界  UB = pi * ones(nvars, 1);   % 上界  % 遗传算法选项  options = optimoptions('ga', 'PlotFcn', @gaplotbestf, ...  'MaxGenerations', 100, ...  'PopulationSize', 100, ...  'Display', 'iter');  % 运行遗传算法  [x, fval] = ga(fitnessFunction, nvars, [], [], [], [], LB, UB, [], options);  % 输出结果（注意：因为我们在目标函数中取了反，所以这里要再次取反）  fprintf('最优解: x = %.4f, y = %.4f\n', x(1), x(2));  fprintf('最大函数值: %f\n', -fval);  % 取反回真实最大值  
end

在这个例子中，fitnessFunction 是我们要优化的目标函数，但因为我们想要最大化这个函数，而ga默认是最小化问题，所以我们通过取反（-(-sin(x(1)) - cos(x(2)))）来转换问题。

nvars 指定了变量的数量，这里是2（x和y）。

LB 和 UB 分别定义了变量的下界和上界。

options 是一个结构体，用于设置遗传算法的选项，如绘图函数、最大代数、种群大小等。

最后，ga 函数被调用，并传入目标函数、变量数量、边界和选项。它返回最优解 x 和对应的目标函数值 fval（注意这里已经是取反后的值，所以我们需要再次取反以得到真实的最大值）。

需要参加数模竞赛的同学，可以看下面的名片，会有最新的助攻哦：（大型比赛前会对名片进行更新）