约瑟夫环和一元多项式

约瑟夫环

一、问题描述    

假设有 n 个人围成一圈，从第一个人开始报数，报数到 m 的人将被淘汰出圈，然后从下一个人开始继续从 1 报数，如此重复，直到最后只剩下一个人。求最后剩下的这个人的编号。

二、问题分析

可以使用循环链表来模拟这个过程。

1.创建一个包含 n 个节点的循环链表，每个节点代表一个人，节点中存储这个人的编号。

2.从第一个节点开始报数，每报到 m，就将对应的节点从链表中删除。

3.重复这个过程，直到链表中只剩下一个节点，这个节点所代表的人的编号就是问题的答案。

数据元素：

数据元素之间的逻辑结构为线性结构

选择的存储结构为链式存储结构，因为有大量的删除操作，链式存储结构便于进行删除操作

三、举例分析    

例如，有 7 个人，从 1 开始报数，报到 3 的人被淘汰。

初始状态：1、2、3、4、5、6、7 围成一圈。

第一次报数：报到 3 的人被淘汰，此时圈子里剩下 1、2、4、5、6、7。

第二次报数：从 4 开始，报到 6 的人被淘汰，圈子里剩下 1、2、4、5、7。

第三次报数：从 7 开始，报到 2 的人被淘汰，圈子里剩下 1、4、5、7。

第四次报数：从 4 开始，报到 7 的人被淘汰，圈子里剩下 1、4、5。

第五次报数：从 1 开始，报到 5 的人被淘汰，圈子里剩下 1、4。

第六次报数：从 4 开始，报到 1 的人被淘汰，最后剩下 4。

所以，在这个例子中，最后剩下的人的编号是 4。

四、具体实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 定义链表节点结构
struct Node {int data;struct Node* next;
};// 创建循环链表
struct Node* createCircularList(int n) {struct Node* head = NULL;struct Node* prev = NULL;for (int i = 1; i <= n; i++) {struct Node* newNode = (struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));newNode->data = i;newNode->next = NULL;if (!head) {head = newNode;} else {prev->next = newNode;}prev = newNode;}prev->next = head;return head;
}// 解决约瑟夫环问题
int josephusProblem(int n, int m) {struct Node* current = createCircularList(n);struct Node* prev = NULL;while (current->next!= current) {for (int i = 1; i < m; i++) { //相当于计数prev = current;current = current->next;}prev->next = current->next;//这里是删除操作struct Node* temp = current;current = current->next;free(temp);}int result = current->data;free(current);return result;
}int main() {int n,m;     //n为总人数，m为报到的数scanf("%d %d",&n,&m);int lastPerson = josephusProblem(n, m);printf("最后剩下的人的编号是：%d\n", lastPerson);return 0;
}

以下是运行结果

也可以用数学公式解决这个问题

有N个人围成一圈（编号为1～N），从第1号开始进行1、2、3报数，凡报3者就退出，下一个人又从1开始报数……直到最后只剩下一个人时为止。请问此人原来的编号是多少?

输入格式:

在一行中给出1个不超过100的正整数N。

输出格式:

在一行中输出最后剩下那个人的编号。

输入样例:

10

输出样例:

4
#include<stdio.h>
int main()
{int n,m=3,i,s=0;scanf("%d",&n);for(i=2;i<=n;i++){s=(s+m)%i;}printf("%d",s+1);
}

 一元多项式运算

一、问题分析

1.一元多项式的表示    

一元多项式可以用链表来表示，每个节点表示多项式中的一项，包含系数和指数两个数据域。 例如，多项式     可以表示为三个节点的链表，第一个节点的系数为 3，指数为 2；第二个节点的系数为 2，指数为 1；第三个节点的系数为 1，指数为 0。

2.运算的实现    

加法：将两个多项式对应项的系数相加，如果指数相同则合并为一项，否则分别插入到结果多项式中。    

减法：与加法类似，但是需要将被减多项式的每一项系数取相反数后再进行加法运算

 

二、实现步骤

  1. 定义链表节点结构 
       struct PolyNode {int coef; // 系数int exp; // 指数struct PolyNode* next;};
  2. 创建多项式 输入多项式的项数，然后依次输入每一项的系数和指数，创建链表表示的多项式。 
       struct PolyNode* createPolynomial() {int n;printf("输入多项式的项数：");scanf("%d", &n);struct PolyNode* head = NULL;struct PolyNode* prev = NULL;for (int i = 0; i < n; i++) {struct PolyNode* newNode = (struct PolyNode*)malloc(sizeof(struct PolyNode));printf("输入第 %d 项的系数和指数：", i + 1);scanf("%d%d", &newNode->coef, &newNode->exp);newNode->next = NULL;if (!head) {head = newNode;} else {prev->next = newNode;}prev = newNode;}return head;}

  3. 打印多项式 遍历链表，按照系数和指数的格式输出多项式。
   void printPolynomial(struct PolyNode* head) {if (!head) {printf("0\n");return;}struct PolyNode* current = head;while (current) {if (current->coef!= 0) {if (current->coef > 0 && current!= head) {printf("+");}if (current->exp == 0) {printf("%d", current->coef);} else if (current->exp == 1) {printf("%dx", current->coef);} else {printf("%dx^%d", current->coef, current->exp);}}current = current->next;}printf("\n");}

 

4.多项式加法与减法 同时遍历两个多项式，比较指数大小，将对应项的系数相加，或者将较小指数的项直接插入到结果多项式中。

例如：

 

 A，B的存储结构示意图：

先比较A,B的第一个结点内的指数大小，显然0比1小，所以直接把A的第一个结点放进新的链表里。 然后用B的第一个结点与A的第二个结点的指数比较，两者都是1，如果是加法，把两个结点内的系数进行相加，如果是减法，把要减去的多项式的结点的系数变为相反数相加即可。 然后将得到的结果与系数组成一个新的结点，放进新的链表里。 以此类推。

加法：

   struct PolyNode* addPolynomial(struct PolyNode* poly1, struct PolyNode* poly2) {struct PolyNode* result = NULL;struct PolyNode* prev = NULL;struct PolyNode* current1 = poly1;struct PolyNode* current2 = poly2;while (current1 && current2) {struct PolyNode* newNode = (struct PolyNode*)malloc(sizeof(struct PolyNode));if (current1->exp > current2->exp) {newNode->coef = current1->coef;newNode->exp = current1->exp;current1 = current1->next;} else if (current1->exp < current2->exp) {newNode->coef = current2->coef;newNode->exp = current2->exp;current2 = current2->next;} else {newNode->coef = current1->coef + current2->coef;newNode->exp = current1->exp;current1 = current1->next;current2 = current2->next;}newNode->next = NULL;if (!result) {result = newNode;} else {prev->next = newNode;}prev = newNode;}while (current1) {struct PolyNode* newNode = (struct PolyNode*)malloc(sizeof(struct PolyNode));newNode->coef = current1->coef;newNode->exp = current1->exp;newNode->next = NULL;prev->next = newNode;prev = newNode;current1 = current1->next;}while (current2) {struct PolyNode* newNode = (struct PolyNode*)malloc(sizeof(struct PolyNode));newNode->coef = current2->coef;newNode->exp = current2->exp;newNode->next = NULL;prev->next = newNode;prev = newNode;current2 = current2->next;}return result;}

减法

   struct PolyNode* subtractPolynomial(struct PolyNode* poly1, struct PolyNode* poly2) {struct PolyNode* temp = poly2;while (temp) {temp->coef = -temp->coef;temp = temp->next;}return addPolynomial(poly1, poly2);}

 

多项式乘法 逐项相乘，将结果插入到结果多项式中，然后合并同类项。

   struct PolyNode* multiplyPolynomial(struct PolyNode* poly1, struct PolyNode* poly2) {struct PolyNode* result = NULL;struct PolyNode* current1 = poly1;while (current1) {struct PolyNode* current2 = poly2;while (current2) {struct PolyNode* newNode = (struct PolyNode*)malloc(sizeof(struct PolyNode));newNode->coef = current1->coef * current2->coef;newNode->exp = current1->exp + current2->exp;newNode->next = NULL;struct PolyNode* temp = result;struct PolyNode* prev = NULL;while (temp && temp->exp > newNode->exp) {prev = temp;temp = temp->next;}if (temp && temp->exp == newNode->exp) {temp->coef += newNode->coef;free(newNode);} else {if (!prev) {result = newNode;} else {prev->next = newNode;}newNode->next = temp;}current2 = current2->next;}current1 = current1->next;}return result;}

 

5.主函数 调用上述函数，实现多项式的输入、运算和输出

   int main() {struct PolyNode* poly1 = createPolynomial();struct PolyNode* poly2 = createPolynomial();printf("多项式 1：");printPolynomial(poly1);printf("多项式 2：");printPolynomial(poly2);struct PolyNode* sum = addPolynomial(poly1, poly2);printf("两多项式之和：");printPolynomial(sum);struct PolyNode* difference = subtractPolynomial(poly1, poly2);printf("两多项式之差：");printPolynomial(difference);struct PolyNode* product = multiplyPolynomial(poly1, poly2);printf("两多项式之积：");printPolynomial(product);return 0;}

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