目录
前言
一、堆排序
1.概念
2.堆排序思想
3.具体步骤
4.实现
5.复杂度
二、堆的应用——TopK问题
三、链式二叉树
1.二叉树创建
2.二叉树遍历
1)前序、中序以及后序遍历
2)层序遍历
3.结点个数以及高度
1)结点个数:
2)结点高度
3)二叉树第K层结点的个数
4)查找值为x的结点
4. 判断二叉树是否为完全二叉树
5.二叉树的销毁
总结
前言
堆排序是一种使用堆数据结构的排序算法。堆是一种完全二叉树,且满足堆属性,即每个节点的值都大于(或小于)它的子节点的值。
二叉树的遍历有三种方式:前序遍历、中序遍历、后序遍历。这三种遍历方式都是深度优先遍历。
一、堆排序
1.概念
堆排序是一种基于堆数据结构实现的排序算法。它将待排序的序列构建成一个大顶堆(或小顶堆),然后依次取出堆顶元素,将其与最后一个元素交换位置,并不断调整堆使其重新满足堆的性质,最终得到一个有序的序列。
2.堆排序思想
堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:
1. 建堆
升序:建大堆
降序:建小堆
注意:升序排列时,并不是建小堆,而是建大堆,堆排列都是从后往前排的,如果建小堆还需要多次交换数组。
建堆时可以使用向上调整也可以使用向下调整,但是向上调整的时间复杂度更高为Nlog(N),而向下调整建堆的时间复杂度更低,为N,所以采用向下调整建堆。
2. 利用堆删除思想来进行排序
建堆和堆删除中都用到了向下调整,因此掌握了向下调整,就可以完成堆排序。
3.具体步骤
- 构建初始堆:将待排序序列构建成一个大顶堆。从最后一个非叶子节点开始,依次对每个节点进行调整,使其满足大顶堆的性质(父节点的值大于子节点的值)。
- 交换堆顶元素和最后一个元素:将堆顶元素与最后一个元素交换位置,并缩小堆的范围(即去掉最后一个元素)。
- 调整堆:对交换后的堆进行调整,使其重新满足大顶堆的性质。
- 重复步骤2和3,直到堆的范围缩小至1,即所有元素都已经排序完成。
4.实现
//左右子树都是大堆或者小堆
void ADjustDown(HPDataType* a, int sz, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < sz){//选出左右孩子中大的一个//这里child+1的判断在前,不要先访问再判断//这里a[child + 1] > a[child] 建大堆用>, 建小堆用<if (child + 1 < sz && a[child + 1] < a[child]){//这地方可能会越界++child;}//这里a[child] > a[parent] 建大堆用>, 建小堆用<if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void HeapSort(int* a, int sz)
{//1.建堆 -- 向上调整建堆 NlogN//左右子树必须是大堆/小堆/*for (int i = 1; i < sz; i++){ADjustUp(a, i);}*///2.向下调整建堆 N//左右子树必须是大堆/小堆for (int i = (sz - 1 -1) / 2; i >= 0; i--){ADjustDown(a, sz, i);}int end = sz - 1;while (end > 0){Swap(&a[end], &a[0]);ADjustDown(a, end, 0);--end;}
}
测试代码:
int main()
{int a[10] = { 2, 1, 5, 4, 7, 9, 8, 3, 6, 0};//对数组排序int sz = sizeof(a) / sizeof(a[0]);HeapSort(a, sz);for (int i = 0; i < sz; i++){printf("%d ", a[i]);}return 0;
}
测试结果:
5.复杂度
堆排序的时间复杂度为O(nlogn),其中n为待排序序列的长度。堆排序是一种原地排序算法,不需要额外的存储空间,但由于堆的构建过程需要占用一定的空间,所以它并不是稳定的排序算法
二、堆的应用——TopK问题
TOP-K问题:即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大。
比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题,能想到的最简单直接的方式就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决,基本思路如下:
-
用数据集合中前K个元素来建堆
-
前k个最大的元素,则建小堆
-
前k个最小的元素,则建大堆
-
-
用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较,不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后,堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
typedef int HPDataType;typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;void ADjustDown(HPDataType* a, int sz, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < sz){//选出左右孩子中大的一个//这里child+1的判断在前,不要先访问再判断//这里a[child + 1] > a[child] 建大堆用>, 建小堆用<if (child + 1 < sz && a[child + 1] > a[child]){//这地方可能会越界++child;}//这里a[child] > a[parent] 建大堆用>, 建小堆用<if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void PrintTopk(const char* file, int k)
{//1.建堆 -- 用a中的前k个元素建小堆int* topk = (int*)malloc(sizeof(int) * k);assert(topk);FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen error");return;}//读出前k个数据建小堆for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &topk[i]);}for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){ADjustDown(topk, k, i);}//2.将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换,不满则替换int val = 0;int ret = fscanf(fout, "%d", &val);while (ret != EOF){if (val > topk[0]){topk[0] = val;ADjustDown(topk, k, 0);}ret = fscanf(fout, "%d", &val);}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", topk[i]);}printf("\n");free(topk);topk = NULL;
}void CreatNData()
{//造数据int n = 10000;srand((unsigned int)time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (size_t i = 0; i < n; ++i){int x = rand() % 10000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}int main()
{// 在测试时可以先运行第一个函数,创造好数据,// 然后修改k条数据,再运行第二步,在监视窗口观察CreatNData();PrintTopk("data.txt", 10);return 0;
}
三、链式二叉树
只有完全二叉树的实现使用数组比较方便,因为很少造成空间浪费。其他二叉树使用链式结构更节省空间,但是由于链式二叉树的构造比较麻烦,所以这里只介绍链式二叉树的遍历。
1.二叉树创建
在操作二叉树前,需要创建一颗二叉树,这里为了简单直接手动创建一颗二叉树
typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL){perror("malloc fail");return NULL;}node->data = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}BTNode* CreatBinaryTree()
{BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);//BTNode* node7 = BuyNode(7);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;//node2->right = node7;return node1;
}
2.二叉树遍历
学习二叉树结构,最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则,依次对二叉树中的结点进行相应的操作,并且每个结点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一,也是二叉树上进行其它运算的基础。
1)前序、中序以及后序遍历
按照规则,二叉树的遍历有:前序/中序/后序的递归结构遍历:
-
前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
-
中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。
-
后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
由于被访问的结点必是某子树的根,所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。
前序遍历图示:
前序遍历实现:
void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%d ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}
前序遍历递归图示:
后序遍历实现:
void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}
后序遍历:
void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}
前序遍历结果:1 2 3 4 5 6
中序遍历结果:3 2 1 5 4 6
后序遍历结果:3 2 5 6 4 1
2)层序遍历
设二叉树的根结点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发,首先访问第一层的树根结点,然后从左到右访问第2层上的结点,接着是第三层的结点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
层序遍历的实现可以借助队列,利用队列先进先出的特点,如果根不为空,就入队;如果左子树或右子树不为空就入队,直到队列为空。
void LevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root != NULL){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%d ", front->data);if (front->left){QueuePush(&q, front->left);}if (front->right){QueuePush(&q, front->right);}}printf("\n");QueueDestory(&q);
}
3.结点个数以及高度
1)结点个数:
注意:节点个数的返回,如果是要返回变量一定要注意,函数栈帧的会存储各自的变量,因此最好传入变量地址。
下面介绍不传变量的写法:
//分治思想
int TreeSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 :TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
2)结点高度
要进行结点的递归比较时,存储变量值可以极大的提高效率
int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}//记录数据,可以减少很多复杂度,提高效率int leftHeight = TreeHeight(root->left);int rightHeight = TreeHeight(root->right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
3)二叉树第K层结点的个数
根结点为第一层
当前树的第k层个数=左子树的第k-1层个数 +左子树的第k-1层个数
int TreeLevelK(BTNode* root, int k)
{assert(k > 0);if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return TreeLevelK(root->left, k - 1)+TreeLevelK(root->right, k - 1);}
4)查找值为x的结点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->data == x){return root;}BTNode* lret = BinaryTreeFind(root->left, x);if (lret){return lret;}BTNode* rret = BinaryTreeFind(root->right, x);if (rret){return rret;}//左右树都没有,返回空return NULL;
}
4. 判断二叉树是否为完全二叉树
完全二叉树按层序走,非空节点一定是连续的。
bool TreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);//为空则不入if (root){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front == NULL){break;}else{QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}}//判断是不是完全二叉树while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);//后面有非空,说明非空结点不是完全连续if (front){QueueDestory(&q);return false;}}QueueDestory(&q);return true;
}
5.二叉树的销毁
采用后序遍历,不用存储根结点的位置。
void TreeDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}TreeDestory(root->left);TreeDestory(root->right);free(root);
}
总结
- 堆排序的基本思想是先将待排序的序列构建成一个最大堆(或最小堆),然后将根节点与最后一个节点交换,再将剩下的 n-1 个节点重新构建成一个最大堆(或最小堆),如此循环,直到所有节点都被交换到适当的位置,从而得到一个有序序列。
- 前序遍历先访问根节点,然后递归地前序遍历左子树,再递归地前序遍历右子树。
- 中序遍历先递归地中序遍历左子树,然后访问根节点,再递归地中序遍历右子树。
- 后序遍历先递归地后序遍历左子树,然后递归地后序遍历右子树,最后访问根节点。
- 二叉树的遍历时间复杂度均为 O(n),其中 n 是二叉树的节点数量。