【高阶数据结构】图的应用--最小生成树

一、最小生成树

连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。

若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条：

1.只能使用图中的边来构造最小生成树

2.只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点

3.选用的n-1条边不能构成回路

构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。

贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体最优的的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解。

二、Kruskal算法

任给一个有n个顶点的连通网络N={V,E}，首先构造一个由这n个顶点组成、不含任何边的图G={V,NULL}，其中每个顶点自成一个连通分量，其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任取其一)，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到G中。如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。

核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树。

在这里插入图片描述

在图23-1上执行Kruskal算法的过程。加了阴影的边属于不断增长的森林A。该算法按照边的权重大小依次进行考虑。箭头指向的边是算法每一步所考察的边。如果该条边将两棵不同的树连接起来，它就被加入到森林里，从而完成对两棵树的合并

我们对使用领接矩阵实现的图来查找最小生成树

代码实现：

// 临接矩阵
namespace Matrix
{template <class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph{typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;private:std::vector<V> _vertexs;             // 顶点集合std::map<V, size_t> _vIndexMap;      // 顶点的下标映射关系std::vector<std::vector<W>> _matrix; // 存储边集合的矩阵struct Edge{size_t _srci;size_t _dsti;W _w;Edge(size_t srci, size_t dsti, const W &w): _srci(srci), _dsti(dsti), _w(w){}bool operator>(const Edge &e) const{return _w > e._w;}};W Kruskal(Self &minTree){size_t n = _vertexs.size();minTree._vertexs = _vertexs;minTree._vIndexMap = _vIndexMap;minTree._matrix.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++){minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);}std::priority_queue<Edge, std::vector<Edge>, std::greater<Edge>> minqueue;for (size_t i = 0; i < n; i++){for (size_t j = 0; j < n; j++){if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W){minqueue.push({i, j, _matrix[i][j]});}}}// 选出n-1条边size_t size = 0;W totalW = W();UnionFindSet ufs(n);while (minqueue.size()){Edge min = minqueue.top();minqueue.pop();if (ufs.InSet(min._srci, min._dsti) == false){std::cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << std::endl;minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w);ufs.Union(min._srci, min._dsti);++size;totalW += min._w;}else{std::cout << "构成环：";std::cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << std::endl;}}if (size == n - 1)return totalW;elsereturn W();}};
}

三、Prim算法

与Kruskal算法类似，Prim 算法也是23.1节所讨论的通用最小生成树算法的一个特例。Prim 算法的工作原理与Dijkstra的最短路径算法相似(该算法将在24.3节中讨论)。Prim算法所具有的一个性质是集合A中的边总是构成一裸树。如图23-5所示，这梯树从一个任意的根结点r开始，一直长大到覆盖V中的所有结点时为止。算法每一步在连接集合A和A之外的结点的所有边中，选择一条轻量级边加入到A中。根据推论23.2，这条规则所加人的边都是对A安全的边。因此，当算法终止时，A中的边形成一棵最小生成树。本策略也属于贪心策略，因为每一步所加人的边都必须是使树的总权重增加量最小的边。

在这里插入图片描述

代码实现：

// 临接矩阵
namespace Matrix
{template <class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph{typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;private:std::vector<V> _vertexs;             // 顶点集合std::map<V, size_t> _vIndexMap;      // 顶点的下标映射关系std::vector<std::vector<W>> _matrix; // 存储边集合的矩阵W Prim(Self &minTree, const V &v){minTree._vertexs = _vertexs;minTree._vIndexMap = _vIndexMap;int n = _vertexs.size();minTree._matrix.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++){minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);}size_t srci = GetVertexIndex(v);// 标记数组,将顶点分为两个部分,一个是一个加入最小生成树的部分,一个是未加入的std::vector<bool> X(n, false);std::vector<bool> Y(n, true);X[srci] = true;Y[srci] = false;std::priority_queue<Edge, std::vector<Edge>, std::greater<Edge>> minq;for (size_t i = 0; i < n; i++){if (_matrix[srci][i] != MAX_W){minq.push({srci, i, _matrix[srci][i]});}}size_t size = 0;W totalW = W();while (minq.size()){Edge min = minq.top();minq.pop();size_t srci = min._srci;size_t dsti = min._dsti;if (X[min._dsti]){std::cout << "构成环:";std::cout << _vertexs[srci] << "->" << _vertexs[dsti] << ":" << _matrix[srci][dsti] << std::endl;}else{minTree._AddEdge(srci, dsti, _matrix[srci][dsti]);std::cout << _vertexs[srci] << "->" << _vertexs[dsti] << ":" << min._w << std::endl;X[dsti] = true;Y[dsti] = false;++size;totalW += _matrix[srci][dsti];if (size == n - 1)break;for (size_t i = 0; i < n; i++){if (_matrix[dsti][i] != MAX_W && Y[i]){minq.push({dsti, i, _matrix[dsti][i]});}}}}if (size == n - 1){return totalW;}elsereturn W();}};
}

测试代码：

void TestGraphMinTree()
{const char str[] = "abcdefghi";Graph<char, int> g(str, strlen(str));g.AddEdge('a', 'b', 4);g.AddEdge('a', 'h', 8);// g.AddEdge('a', 'h', 9);g.AddEdge('b', 'c', 8);g.AddEdge('b', 'h', 11);g.AddEdge('c', 'i', 2);g.AddEdge('c', 'f', 4);g.AddEdge('c', 'd', 7);g.AddEdge('d', 'f', 14);g.AddEdge('d', 'e', 9);g.AddEdge('e', 'f', 10);g.AddEdge('f', 'g', 2);g.AddEdge('g', 'h', 1);g.AddEdge('g', 'i', 6);g.AddEdge('h', 'i', 7);Graph<char, int> kminTree;std::cout << "Kruskal:" << g.Kruskal(kminTree) << std::endl;kminTree.Print();std::cout << std::endl<< std::endl;Graph<char, int> pminTree;std::cout << "Prim:" << g.Prim(pminTree, 'a') << std::endl;pminTree.Print();std::cout << std::endl;for (size_t i = 0; i < strlen(str); ++i){std::cout << "Prim:" << g.Prim(pminTree, str[i]) << std::endl;}
}