强化学习是一种机器学习方法,旨在通过与环境的交互来学习最优策略。它的核心概念是智能体(agent)在环境中采取动作,从而获得奖励或惩罚。智能体的目标是最大化长期奖励,通过试错的方式不断改进其决策策略。
在强化学习中,智能体观察当前状态,选择动作,并根据环境反馈(奖励和下一个状态)调整其策略。常见的强化学习算法包括Q-learning、策略梯度方法和深度强化学习等。强化学习广泛应用于游戏、机器人控制、推荐系统等领域。
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奖励(Reward):
r t = R ( s t , a t ) r_t = R(s_t, a_t) rt=R(st,at)
其中 r t r_t rt 是在时间步 t t t 时,智能体在状态 s t s_t st 下采取动作 a t a_t at 所获得的奖励。 -
状态价值函数(State Value Function):
V ( s ) = E [ ∑ t = 0 ∞ γ t r t ∣ s 0 = s ] V(s) = \mathbb{E} \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \gamma^t r_t \mid s_0 = s \right] V(s)=E[t=0∑∞γtrt∣s0=s]
其中 V ( s ) V(s) V(s) 是状态 s s s 的价值, γ \gamma γ 是折扣因子 ( 0 ≤ γ < 1 ( 0 \leq \gamma < 1 (0≤γ<1),表示未来奖励的重要性。 -
动作价值函数(Action Value Function):
Q ( s , a ) = E [ ∑ t = 0 ∞ γ t r t ∣ s 0 = s , a 0 = a ] Q(s, a) = \mathbb{E} \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \gamma^t r_t \mid s_0 = s, a_0 = a \right] Q(s,a)=E[t=0∑∞γtrt∣s0=s,a0=a]
其中 Q ( s , a ) Q(s, a) Q(s,a) 是在状态 s s s 下采取动作 a a a 的价值。 -
贝尔曼方程(Bellman Equation):
- 状态价值函数的贝尔曼方程:
V ( s ) = ∑ a π ( a ∣ s ) ∑ s ′ , r P ( s ′ , r ∣ s , a ) [ r + γ V ( s ′ ) ] V(s) = \sum_{a} \pi(a \mid s) \sum_{s', r} P(s', r \mid s, a) \left[ r + \gamma V(s') \right] V(s)=a∑π(a∣s)s′,r∑P(s′,r∣s,a)[r+γV(s′)] - 动作价值函数的贝尔曼方程:
Q ( s , a ) = ∑ s ′ , r P ( s ′ , r ∣ s , a ) [ r + γ max a ′ Q ( s ′ , a ′ ) ] Q(s, a) = \sum_{s', r} P(s', r \mid s, a) \left[ r + \gamma \max_{a'} Q(s', a') \right] Q(s,a)=s′,r∑P(s′,r∣s,a)[r+γa′maxQ(s′,a′)]
- 状态价值函数的贝尔曼方程:
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策略(Policy):
π ( a ∣ s ) = P ( a ∣ s ) \pi(a \mid s) = P(a \mid s) π(a∣s)=P(a∣s)
其中 π ( a ∣ s ) \pi(a \mid s) π(a∣s) 是在状态 s s s 下选择动作 a a a 的概率。
目标函数
- 策略梯度目标函数:
J ( θ ) = E τ ∼ π θ [ ∑ t = 0 T r t ] J(\theta) = \mathbb{E}_{\tau \sim \pi_\theta} \left[ \sum_{t=0}^{T} r_t \right] J(θ)=Eτ∼πθ[t=0∑Trt]- 说明: J ( θ ) J(\theta) J(θ) 是关于策略参数 θ \theta θ 的目标函数,表示在策略 π θ \pi_\theta πθ 下,执行轨迹 τ \tau τ 的预期总奖励。目标是最大化该期望值,通常通过梯度上升方法进行优化。
损失函数
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策略损失函数(使用REINFORCE算法):
L ( θ ) = − E τ ∼ π θ [ ∑ t = 0 T r t log π θ ( a t ∣ s t ) ] L(\theta) = -\mathbb{E}_{\tau \sim \pi_\theta} \left[ \sum_{t=0}^{T} r_t \log \pi_\theta(a_t \mid s_t) \right] L(θ)=−Eτ∼πθ[t=0∑Trtlogπθ(at∣st)]- 说明:这个损失函数的目的是最小化负的期望总奖励。通过优化该损失函数,可以最大化目标函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ)。这里的 log π θ ( a t ∣ s t ) \log \pi_\theta(a_t \mid s_t) logπθ(at∣st) 是对策略的对数概率,表示在状态 s t s_t st 下采取动作 a t a_t at 的可能性。
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价值函数损失(对于Q-learning):
L ( θ ) = E [ ( r t + γ max a ′ Q ( s ′ , a ′ ; θ ) − Q ( s , a ; θ ) ) 2 ] L(\theta) = \mathbb{E} \left[ \left( r_t + \gamma \max_{a'} Q(s', a'; \theta) - Q(s, a; \theta) \right)^2 \right] L(θ)=E[(rt+γa′maxQ(s′,a′;θ)−Q(s,a;θ))2]- 说明:该损失函数用于最小化当前动作价值函数 Q ( s , a ; θ ) Q(s, a; \theta) Q(s,a;θ) 和目标价值 r t + γ max a ′ Q ( s ′ , a ′ ; θ ) r_t + \gamma \max_{a'} Q(s', a'; \theta) rt+γmaxa′Q(s′,a′;θ) 之间的均方误差。通过最小化该损失,更新网络参数 θ \theta θ 以更准确地预测价值。
细节总结
- 目标函数:用于衡量当前策略的性能,指导优化过程。强化学习的目标是通过更新策略来最大化期望奖励。
- 损失函数:是优化过程中实际最小化的函数,直接反映模型的学习效果。损失函数的设计直接影响学习的效率和效果。
这些公式是强化学习中策略优化和价值评估的核心,理解它们有助于深入掌握强化学习的理论基础和应用。
代码
import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import numpy as np# 环境假设
class SimpleEnv:def reset(self):return np.random.rand(4) # 随机状态def step(self, action):next_state = np.random.rand(4)reward = np.random.rand() # 随机奖励done = np.random.rand() > 0.9 # 随机结束return next_state, reward, done# 策略网络
class PolicyNetwork(nn.Module):def __init__(self):super(PolicyNetwork, self).__init__()self.fc = nn.Sequential(nn.Linear(4, 128),nn.ReLU(),nn.Linear(128, 2), # 假设有两个动作)def forward(self, x):return torch.softmax(self.fc(x), dim=-1)# 计算折扣奖励
def compute_discounted_rewards(rewards, discount_factor=0.99):discounted_rewards = []cumulative_reward = 0for r in reversed(rewards):cumulative_reward = r + cumulative_reward * discount_factordiscounted_rewards.insert(0, cumulative_reward)return discounted_rewards# 训练函数
def train(env, policy_net, optimizer, episodes=1000):for episode in range(episodes):state = env.reset()rewards = []log_probs = []while True:state_tensor = torch.FloatTensor(state)probs = policy_net(state_tensor)action = np.random.choice(len(probs), p=probs.detach().numpy())log_prob = torch.log(probs[action])next_state, reward, done = env.step(action)log_probs.append(log_prob)rewards.append(reward)state = next_stateif done:break# 计算折扣奖励discounted_rewards = compute_discounted_rewards(rewards)# 更新策略optimizer.zero_grad()loss = -sum(log_prob * reward for log_prob, reward in zip(log_probs, discounted_rewards))loss.backward()optimizer.step()# 输出每个回合的总奖励total_reward = sum(rewards)print(f"Episode {episode + 1}, Total Reward: {total_reward:.2f}")# 测试函数
def test(env, policy_net, episodes=10):for episode in range(episodes):state = env.reset()total_reward = 0while True:state_tensor = torch.FloatTensor(state)with torch.no_grad():probs = policy_net(state_tensor)action = torch.argmax(probs).item()next_state, reward, done = env.step(action)total_reward += rewardstate = next_stateif done:breakprint(f"Test Episode {episode + 1}, Total Reward: {total_reward:.2f}")# 主程序
env = SimpleEnv()
policy_net = PolicyNetwork()
optimizer = optim.Adam(policy_net.parameters(), lr=0.01)train(env, policy_net, optimizer)
test(env, policy_net)
训练奖励图:显示每个训练回合的总奖励变化,帮助评估模型在训练过程中的学习效果。
测试奖励图:展示在测试回合中模型的总奖励,反映训练后的表现。
代码结构
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环境(Environment)
SimpleEnv
类:模拟一个简单的环境,包含reset
和step
方法。reset()
:初始化并返回一个随机状态。step(action)
:根据所采取的动作返回下一个状态、奖励和是否结束标志。- 奖励和结束状态是随机生成的,模拟了一个非常简化的环境。
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策略网络(Policy Network)
PolicyNetwork
类:定义一个神经网络,用于近似策略。- 使用全连接层,输入状态维度为 4(环境状态的维度),输出动作概率的维度为 2(假设有两个可能的动作)。
forward
方法通过 softmax 函数输出每个动作的概率。
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折扣奖励计算
compute_discounted_rewards(rewards, discount_factor=0.99)
:计算每个时间步的折扣奖励。- 从后往前遍历奖励列表,使用折扣因子更新累计奖励,生成折扣奖励列表。
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训练函数(Training Function)
train(env, policy_net, optimizer, episodes=1000)
:进行训练的主函数。- 循环执行指定的回合数:
- 重置环境,初始化奖励和日志概率列表。
- 在回合中循环,使用当前状态选择动作并记录日志概率和奖励。
- 计算并更新策略网络的损失,使用反向传播更新参数。
- 每个回合结束后打印总奖励,帮助监控训练进度。
- 循环执行指定的回合数:
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测试函数(Testing Function)
test(env, policy_net, episodes=10)
:用于评估训练后模型表现的函数。- 重置环境并执行多个测试回合,选择最大概率的动作。
- 累计并打印每个测试回合的总奖励,评估训练的效果。
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主程序
- 创建环境和策略网络实例,定义优化器(Adam)。
- 调用训练函数进行训练,然后调用测试函数进行评估。
整体逻辑
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环境设置:定义了一个非常简单的环境,主要用于演示如何应用策略梯度方法。实际应用中,可以替换为更复杂的环境,比如OpenAI的Gym库中的环境。
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策略学习:使用神经网络近似策略,通过与环境的交互收集状态、动作、奖励,并更新网络参数,以优化策略。
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输出和评估:通过在训练过程中的总奖励输出和测试过程中的评估,可以观察到模型的学习进展。
小结
这段代码是一个简单的强化学习示例,展示了如何使用策略梯度方法和PyTorch进行训练和测试。虽然环境和任务是简化的,但它提供了一个良好的基础,便于理解强化学习的核心概念和实现。