【算法】DFS 系列之穷举/暴搜/深搜/回溯/剪枝（上篇）

【ps】本篇有 9 道 leetcode OJ。

一、算法简介

二、相关例题

1）全排列

.1- 题目解析

.2- 代码编写

2）子集

.1- 题目解析

.2- 代码编写

3）找出所有子集的异或总和再求和

.1- 题目解析

.2- 代码编写

4）全排列 II

.1- 题目解析

.2- 代码编写

5）电话号码的字母组合

.1- 题目解析

.2- 代码编写

6）括号生成

.1- 题目解析

.2- 代码编写

7）组合

.1- 题目解析

.2- 代码编写

8）目标和

.1- 题目解析

.2- 代码编写

9）组合总和

.1- 题目解析

.2- 代码编写

一、算法简介

回溯算法是一种经典的递归算法，通常⽤于解决组合问题、排列问题和搜索问题等。

回溯算法的基本思想：从一个初始状态开始，按照⼀定的规则向前搜索，当搜索到某个状态无法前进时，回退到前一个状态，再按照其他的规则搜索。回溯算法在搜索过程中维护一个状态树，通过遍历状态树来实现对所有可能解的搜索。

回溯算法的核心思想：“试错”，即在搜索过程中不断地做出选择，如果选择正确，则继续向前搜索，否则，回退到上一个状态，重新做出选择。回溯算法通常用于解决具有多个解，且每个解都需要搜索才能找到的问题。

// 回溯算法的模板
void dfs(vector<int>& path, vector<int>& choice, ...)
{// 满⾜结束条件if (/* 满⾜结束条件 */){// 将路径添加到结果集中res.push_back(path);return;}// 遍历所有选择for (int i = 0; i < choices.size(); i++){// 做出选择path.push_back(choices[i]);// 做出当前选择后继续搜索dfs(path, choices);// 撤销选择path.pop_back();}
}

其中， path 表示当前已经做出的选择， choices 表示当前可以做的选择。在回溯算法中，我们需要做出选择，然后递归地调用回溯函数。如果满足结束条件，则将当前路径添加到结果集中。

否则，我们需要撤销选择，回到上一个状态，然后继续搜索其他的选择。回溯算法的时间复杂度通常较高，因为它需要遍历所有可能的解。但是，回溯算法的空间复杂度较低，因为它只需要维护一个状态树。在实际应用中，回溯算法通常需要通过剪枝等方法进行优化，以减少搜索的次数，从而提高算法的效率。

回溯算法是一种非常重要的算法，可以解决许多组合问题、排列问题和搜索问题等。回溯算法的核心思想是搜索状态树，通过遍历状态树来实现对所有可能解的搜索。回溯算法的模板非常简单，但是实现起来需要注意一些细节，比如何做出选择、如何撤销选择等。

二、相关例题

1）全排列

46. 全排列

.1- 题目解析

全排列的过程，其实可以画成一棵决策树，而找出全排列的结果，其实就是对这棵决策树进行 DFS。

DFS 的思路是，循环模仿遍历树的结点，到叶子结点就返回，不是就进入循环。

在下面 for 循环里要考虑这个位置要填哪个数。根据题目要求，我们肯定不能填已经填过的数，因此很容易想到的一个处理手段就是，定义一个标记数组来标记已经填过的数，那么在填这个数的时候，我们遍历题目给定的所有数，如果这个数没有被标记过，我们就尝试填入，并将其标记，继续尝试填下一个位置。而回溯的时候，要撤销这一个位置填的数以及标记，并继续尝试其他没被标记过的数。

.2- 代码编写

class Solution {vector<vector<int>> ret;vector<int> path;bool check[7];
public:vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {dfs(nums);return ret;}void dfs(vector<int>& nums){if(path.size()==nums.size()){ret.push_back(path);return ;}for(int i=0;i<nums.size();i++)//枚举每一个在排列开头的数{if(check[i]==false){//记录结果并遍历下一层path.push_back(nums[i]);check[i]=true;dfs(nums);//回到这一层再恢复现场path.pop_back();check[i]=false;}}}
};

2）子集

78. 子集

.1- 题目解析

本题有两种解法。

第一种与上一道题类似，根据某一个元素选或不选，将所有的子集穷举出来，然后统计结果即可。

第二种解法则是根据子集中有多少个元素，来将所有的子集穷举出来。

.2- 代码编写

//解法一
class Solution {vector<vector<int>> ret;vector<int> path;
public:vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {dfs(nums,0);return ret;}void dfs(vector<int>& nums,int i){if(i==nums.size()){ret.push_back(path);return;}//不选dfs(nums,i+1);//选path.push_back(nums[i]);//记录结果dfs(nums,i+1);path.pop_back();//恢复现场}
};

//解法二
class Solution {vector<vector<int>> ret;vector<int> path;
public:vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {dfs(nums,0);return ret;}void dfs(vector<int>& nums,int pos){ret.push_back(path);//每次进到下一层，都是新结果，都要记录for(int i=pos;i<nums.size();i++)//枚举下一层{path.push_back(nums[i]);//记录结果dfs(nums,i+1);          //进入下一层path.pop_back();        //回到当前层，恢复现场}}
};

3）找出所有子集的异或总和再求和

1863. 找出所有子集的异或总和再求和

.1- 题目解析

这道题只需要在上一道的基础上，稍微改变统计结果的方式即可。

.2- 代码编写

class Solution {int sum;int path;
public:int subsetXORSum(vector<int>& nums) {dfs(nums,0);return sum;}void dfs(vector<int>& nums,int pos){sum+=path;for(int i=pos;i<nums.size();i++){path^=nums[i];dfs(nums,i+1);path^=nums[i];}}
};

4）全排列 II

47. 全排列 II

.1- 题目解析

我们可以直接在上文《全排列》的基础上用 set 对结果去重。

或者，在上文《全排列》的基础上，加入剪枝操作。由于题目不要求返回的排列顺序，因此我们可以对初始状态排序，将所有相同的元素放在各自相邻的位置，方便之后操作。

.2- 代码编写

//解法一：set去重
class Solution {set<vector<int>> ret;vector<int> path;bool cheak[8] = {false};
public:vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {dfs(nums);vector<vector<int>> tmp(ret.begin(), ret.end());return tmp;}void dfs(vector<int> nums){if(nums.size() == path.size()){// if(find(ret.begin(), ret.end(), path) == ret.end())//     ret.push_back(path);ret.insert(path);return;}for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){if(cheak[i] == false) // 如果没有用过{path.push_back(nums[i]);cheak[i] = true;dfs(nums); // 此时路径已经加上一个了，在让其进入递归path.pop_back(); // 回溯，恢复现场，（递归往回走了）cheak[i] = false;}}}
};

//解法二：剪枝，关心不合法的分支
class Solution {vector<int> path;vector<vector<int>> ret;bool check[9];
public:vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(),nums.end());dfs(nums);return ret;}void dfs(vector<int>& nums){if(path.size()==nums.size()){ret.push_back(path);return;}for(int i=0;i<nums.size();i++){if(check[i]==true|| (i!=0 && nums[i]==nums[i-1] && check[i-1]==false)){continue;}path.push_back(nums[i]);check[i]=true;dfs(nums);path.pop_back();check[i]=false;}}
};

//解法三：剪枝，关心合法的分支
//解法二：剪枝
class Solution {vector<int> path;vector<vector<int>> ret;bool check[9];
public:vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(),nums.end());dfs(nums);return ret;}void dfs(vector<int>& nums){if(path.size()==nums.size()){ret.push_back(path);return;}for(int i=0;i<nums.size();i++){if(check[i]==false && (i==0 || nums[i]!=nums[i-1] || check[i-1]==true))//剪枝{path.push_back(nums[i]);check[i]=true;dfs(nums);path.pop_back();check[i]=false;}}}
};

5）电话号码的字母组合

17. 电话号码的字母组合

.1- 题目解析

每一个数字都对应了一串字符，我们可以由此用一个哈希表建立数字和字符之间的映射，以便通过数字找到相应的字符。

而其他过程同上文中的题目，通过画决策树 + DFS 来解决。

.2- 代码编写

class Solution {string hash[10]={"","","abc","def","ghi","jkl","mno","pqrs","tuv","wxyz"};vector<string> ret;string path;
public:vector<string> letterCombinations(string digits) {if(digits.size()==0)return ret;dfs(digits,0);return ret;}void dfs(string& digits,int pos){if(pos==digits.size()){ret.push_back(path);return;}for(auto ch:hash[digits[pos]-'0']){path.push_back(ch);dfs(digits,pos+1);path.pop_back();}}
};

6）括号生成

22. 括号生成

.1- 题目解析

.2- 代码编写

class Solution {int left,right,n;string path;vector<string> ret;
public:vector<string> generateParenthesis(int _n) {n=_n;dfs();return ret;}void dfs(){if(right==n){ret.push_back(path);return ;}if(left<n){path.push_back('(');left++;dfs();path.pop_back();left--;}if(right<left){path.push_back(')');right++;dfs();path.pop_back();right--;}}
};

7）组合

77. 组合

.1- 题目解析

本题是上一道题的变形，画决策树穷举出所有情况即可。

.2- 代码编写

class Solution {vector<int> path;vector<vector<int>> ret;int n,k;
public:vector<vector<int>> combine(int _n, int _k) {n=_n,k=_k;dfs(1);return ret;}void dfs(int start){if(path.size()==k){ret.push_back(path);return;}for(int i=start;i<=n;i++){path.push_back(i);dfs(i+1);path.pop_back();}}
};

8）目标和

494. 目标和

.1- 题目解析

.2- 代码编写

class Solution {
int ret,aim;
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {aim=target;dfs(nums,0,0);//参数：原始数组、当前下标位置、决策树某一条路径之和return ret;}void dfs(vector<int>& nums,int pos,int path){if(pos==nums.size()){if(path==aim)ret++;//统计结果return;}dfs(nums,pos+1,path+nums[pos]);//穷举加dfs(nums,pos+1,path-nums[pos]);//穷举减}
};

9）组合总和

39. 组合总和

.1- 题目解析

.2- 代码编写

//解法一：枚举每个值之和
class Solution {int aim;vector<int> path;vector<vector<int>> ret;
public:vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& nums, int target) {aim=target;dfs(nums,0,0);return ret;}void dfs(vector<int>& nums,int pos,int sum){if(sum==aim){ret.push_back(path);return;}if(sum>aim || pos==nums.size())return;//回溯for(int i=pos;i<nums.size();i++){path.push_back(nums[i]);dfs(nums,i,sum+nums[i]);path.pop_back();}}
};

//解法二：枚举每个值的个数
class Solution {int aim;vector<int> path;vector<vector<int>> ret;
public:vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& nums, int target) {aim=target;dfs(nums,0,0);return ret;}void dfs(vector<int>& nums,int pos,int sum){if(sum==aim){ret.push_back(path);return;}if(sum>aim || pos==nums.size())return;//回溯for(int k=0;k*nums[pos]<=aim;k++) //枚举个数{if(k)path.push_back(nums[pos]);dfs(nums,pos+1,sum+k*nums[pos]);}for(int k=1;k*nums[pos]<=aim;k++){path.pop_back();}}
};