题目大意：f（x）=5*x^13+13*x^5+k*a*x，输入一个无负整数 k（k<10000），要找到最小的非负整数 a，将任意整数 x ，65|f（x），如果不存在该 a，则打印 “no”。

思路：这题有两种解法。第一种数学归纳法，第二种用费马小定理。

第一种：数学归纳法

1.当 x = 0 时，f ( 0 ) = 0 ，能被65整除。

2.当 x = x 时，f（x）=5*x^13+13*x^5+k*a*x能被65整除，那么 f ( x + 1 ) 肯定也是能被65整除的

3.当 x = x + 1 时,

f（x + 1 ）= 5*（x+1）^13+13*（x+1）^5+k*a*（x + 1）

f（x + 1 ）=5*()+

                        13*()+k*a*（x + 1）

f（x + 1 ）=f（x）+5*()+

                        13*()+k*a

f（x + 1 ）=f（x）+5*()+13*()+ka+18

由（2）可知，f ( x ) 能被65整除，

5*()+13*() 也能被65整除，

所以只要当 k * a + 18 能被65整除就存在 a，否则不存在 a。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define endl '\n'
signed main(){int n;while(cin >> n){n%=65;int f=1;for(int i=0;i<=64;i++){if((18+n*i)%65==0){cout << i << endl;f=0;break;}}if(f) cout << "no" << endl;}return 0;
}

第二种：费马小定理（%p=1）

要 f ( x ) %65==0 , 即f ( x ) %13==0 && f ( x ) %5==0，所以可以分成两部分计算。

1.f（x）=5*x^13+13*x^5+k*a*x

   f（x）=x*(5*x^12+13*x^4+k*a)%13=0 , 即 (5*x^12+13*x^4+k*a)%13=0

  因为13*x^4 %13=0                                                    (5*x^12+k*a)%13=0

由费马小定理可得，x^12%13=1                                         (k *a+5)%13=0

2.f（x）=5*x^13+13*x^5+k*a*x

   f（x）=x*(5*x^12+13*x^4+k*a)%5=0 , 即 (5*x^12+13*x^4+k*a)%5=0

因为 5*x^12%5=0                                                      (13*x^4+k*a)%5=0

由费马小定理可得，x^4%5=1                                         (k *a+13)%5=0

综上所述，当 (k *a+5)%13=0 && (k *a+13)%5=0 时 存在 a ，否则不存在 a。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define endl '\n'
signed main(){int n;while(cin >> n){int f=1;n%=65;for(int i=0;i<=64;i++){if(n*i%5==2 && n*i%13==8){cout << i << endl;f=0;break;}}if(f) cout << "no" << endl;}return 0;
}