考试要求

1、理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
4、理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一菜布尼茨公式.
5、了解反常积分的概念，会计算反常积分.
6、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.

基本方法

微元法 设所求的量$F$依赖于某区间$[a,b]$以及在此区间上定义的某函数$f(x)$，且满足：


1、当$f(x)$为常数$C$是，$F=C\cdot (b-a)$;

2、当将区间$[a,b]$分为一些$△x$之和时，量$F$也被分割为相应的一些$△F$之和，即$F$具有可加性。

将$f(x)$在小区间$[x,x+△x]$上视为常量，于是$$△F\approx f(x)△x\text{\hspace{1em}(1)}$$
近似严格说是：$$△F=f(x)△x+o(△x)\text{\hspace{1em}(2)}$$
于是$$dF=f(x)dx\text{\hspace{1em}(3)}$$$$F={\int }_a^{b}f(x)dx$$
公式(1)或(2)常称为取微元，(3)称为$F$的微元，取好微元，再自$a到b$积分便得$F$

重要几何公式与物理应用

平面图形面积

1、曲线$y=y_2(x)与y=y_1(x)(y_2(x)\ge y_1(x))及x=a,x=b围成的平面图形的面积$：$$S={\int }_a^b{y}_2(x)-y_1(x)dx$$
练习1：平面区域$D$由曲线$y=x^2及x=y^2$围成，求其面积$S$

解：$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}y=x^2\\ \\ x=y^2\end{array}解出两点(0,0)及(1,1)。故： \\ S={\int }_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

2、曲线$x=x_2(y)与x=x_1(y)(x_2(y)\ge x_1(y))及y=c,y=d围成的平面图形的面积$：$$S={\int }_c^d{x}_2(y)-x_1(y)dy$$

3、极坐标曲线$r=r(\theta )$介于两射线$\theta =\alpha 与\theta =\beta (0<\beta -\alpha \le 2\pi )$之间的曲边扇形的面积：$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta$$
练习1：求由极坐标方程给出的曲线$r^2=2a^2\cos 2\theta$围成区域的面积

解：$$\begin{gathered} 极坐标方程由曲线r=r(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )围成的区域面积S可以写成： \\ S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta \\ 在本题中，区域图形为： \\ S=2{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}2a^2\cos 2\theta d\theta =2a^2\sin 2\theta {|}_0^{\frac{\pi }{4}}=2a^2 \end{gathered}$$

4、由参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ \\ y=y(t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$所围成平面图形的面积为：
$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)x^{{}^{\prime }}(t)|dt或S={\int }_{\alpha }^{\beta }|x(t)y^{{}^{\prime }}(t)|dt$$

旋转体体积

1、曲线$y=y(x)与x=a,x=b,x$轴围成的曲边梯形绕$x$轴旋转一周所围成的旋转体体积$$V=\pi {\int }_a^b{y}^2(x)dx,a<b$$
形绕$y$轴旋转一周所围成的旋转体体积：$$V=2\pi {\int }_a^{b}xy(x)dx（y(x)\ge 0,b\ge a\ge 0）$$
练习1：求旋转线$x=a(t-\sin t)，y=a(1-\cos t)，t\in [0,2\pi ]$绕x轴旋转所成旋转体体积

解：$$\begin{gathered} 由公式：V=\pi {\int }_a^b{y}^2(x)dx可知 \\ V=\pi {\int }_0^{2\pi }(a(1-\cos t){)}^2(a(1-\cos t))dt \\ =\pi a^2{\int }_0^{2\pi }(3{\cos }^{2}t-3\cos t-{\cos }^{3}t+1)dt \\ =\pi a^2{\int }_0^{2\pi }(3\frac{1+\cos 2t}{2}-3\cos t-(\cos t(1-{\sin }^{2}t))+1)dt \\ =\pi a^2[\frac{3t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}-3\sin t-\sin t+\frac{{\sin }^{3}t}{3}+t]{|}_0^{2\pi } \\ =\pi a^2[3\pi +0-0-0+0+2\pi ] \\ =5\pi a^2 \end{gathered}$$

2、曲线$y=y_2(x)$与$y=y_1(x)(y_2(x)\ge y_1(x)\ge 0)$及$x=a,x=b$围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所围成的旋转体体积$$V=\pi {\int }_a^b{y}_2^2(x)-y_1^2(x)dx(a<b)$$


3、曲线$y=y_2(x)$与$y=y_1(x)(y_2(x)\ge y_1(x)\ge 0)$及$x=a,x=b$围成的平面图形绕$y$轴旋转一周所围成的旋转体体积$$V=2\pi {\int }_a^{b}x(y_2(x)-y_1(x))dx(b\ge a>0)$$

函数的平均值

设$x\in [a,b]$，函数$f(x)$在$[a,b]$的平均值为$$f=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

在区间$[a,b]$上平行截面面积$S(x)$为已知的立体体积

$$V={\int }_a^{b}S(x)dx,a<b$$

平面曲线的弧长

1、参数方程曲线$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ \\ y=y(t)\end{array}，\alpha \le t\le \beta$的弧长(其中$x^{{}^{\prime }}(t)$与$y^{{}^{\prime }}(t)$均连续，且不同时为零)$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{{}^{\prime }2}(t)+y^{{}^{\prime }2}(t)}dt$$


练习1：求曲线$\{\begin{array}{l}x=\frac{c^2}{a}{\cos }^{3}t\\ \\ y=\frac{c^2}{b}{\sin }^{3}t\end{array}，t\in [0,2\pi ]$的弧长，其中$a>b>0,c^2=a^2-b^2$

解：$$\begin{gathered} 由s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{(x^{{}^{\prime }}(t){)}^2+(y^{{}^{\prime }}(t){)}^2}dt得 \\ ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{(-3\frac{c^2}{a}\sin t{\cos }^{2}t{)}^2+(3\frac{c^2}{b}{\sin }^{2}t\cos t{)}^2}dt \\ =\frac{3c^2}{ab}{\int }_0^{2\pi }\sqrt{(b^2{\sin }^{2}t{\cos }^{4}t+a^2{\sin }^{4}t{\cos }^{2}t}dt \\ =\frac{3c^2}{ab}{\int }_0^{2\pi }\sqrt{(b^2{\sin }^{2}t{\cos }^{4}t+(c^2+b^2){\sin }^{4}t{\cos }^{2}t}dt \\ =\frac{3c^2}{ab}{\int }_0^{2\pi }\sqrt{b^2+c^2{\sin }^{2}t}sint\cos tdt \\ =\frac{6c^2}{ab}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{b^2+c^2{\sin }^{2}t}d{\sin }^{2}tdt \\ =\frac{4}{ab}(a^3-b^3) \end{gathered}$$

2、直角坐标$y=y(x)，a\le x\le b$的弧长(其中y^{'}(x)连续)$$s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{{}^{\prime }2}(x)}dx$$


3、极坐标曲线$r=r(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )$的弧长(其中$r(\theta ),r^{{}^{\prime }}(\theta )$连续，且不同时为零)：$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+r^{{}^{\prime }2}(\theta )}d\theta$$

旋转曲面面积

1、在区间$[a,b]$上的曲线$y=f(x)$的弧段绕$x$轴旋转一周所围成的旋转所成的旋转曲面面积$$S=2\pi {\int }_a^b|y|\sqrt{1+f^{{}^{\prime }2}(x)}dx,a<b$$

2、参数方程曲线$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ \\ y=y(t)\end{array}，\alpha \le t\le \beta$的弧长(其中$x^{{}^{\prime }}(t)$与$y^{{}^{\prime }}(t)$均连续，且不同时为零)$$S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)|\sqrt{x^{{}^{\prime }2}(t)+y^{{}^{\prime }2}(t)}dt$$


3、极坐标曲线$r=r(\theta )(0\le \alpha \le \theta \le \beta \le \pi )$的弧长(其中$r(\theta ),r^{{}^{\prime }}(\theta )$连续，且不同时为零)：$$S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }r(\theta )\sqrt{r^2(\theta )+r^{{}^{\prime }2}(\theta )}\sin \theta d\theta$$

练习1：求心形形$r=a(1+\cos \theta )(a>0,\theta \in [0,2\pi ])$绕$x$轴旋转一周得到的旋转体表面积。

解：$$\begin{gathered} S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }r(\theta )\sqrt{r^2(\theta )+r^{{}^{\prime }2}(\theta )}\sin \theta d\theta \\ S=2\pi a{\int }_0^{\pi }(1+\cos \theta )\sqrt{(a(1+\cos \theta ){)}^2+(a(1+\cos \theta ){)}^{{}^{\prime }2}}\sin \theta d\theta \\ =2\pi a^2\sqrt{2}{\int }_0^{\pi }(1+\cos \theta {)}^{\frac{3}{2}}\sin \theta d\theta \\ =2\pi a^2\sqrt{2}{\int }_0^{\pi }-\frac{2}{5}d((1+\cos \theta {)}^{\frac{5}{2}})d\theta \\ =2\sqrt{2}\pi a^2{\int }_0^{\pi }-\frac{2}{5}d((1+\cos \theta {)}^{\frac{5}{2}}) \\ =-\frac{4}{5}\sqrt{2}\pi (1+\cos \theta {)}^{\frac{5}{2}}{a}^2{|}_0^{\pi } \\ =\frac{32a^2\pi }{5} \end{gathered}$$