写在前面（叠甲）： 非线性是控制科学中重要的一个研究方向，它所包含的理论远远超过自动控制原理中的内容。在本文中，所介绍的内容仍然在《自动控制原理》框架内，所以只介绍了自控原理课程中涉及的非线性问题，针对描述函数和相平面做介绍。

一、非线性系统的基本概念

1.1 什么是非线性系统

从输入输出关系看，输出不与输入成正比的系统，称之为非线性系统。
从数学关系看，系统状态不满足齐次性和叠加性的系统，称之为非线性系统。
从系统结构看，系统中至少存在一个非线性元件的系统，称之为非线性系统。

需要指出的是，如果我们用微分方程表示输入和输出之间的关系，则如果方程中含有阶次不为1的项（ $d^{2}y/d{x}^2$ ）则这并不是非线性项，非线性项是指幂次不为1的项，如$(dy/dx{)}^2$。

1.2 线性系统和非线性系统的区别

线性系统和非线性系统最直观的区别是系统在数学上是否满足齐次性和叠加性。

1.3 为什么研究非线性控制系统

实际中，绝对的线性系统是不存在的，只存在线性区间比较好的系统或者相对近似线性的系统。而有些场合则是完全非线性的，非线性系统往往其能控性和能观性不好，因此需要采取一定的方法使其可控。

曾几何时，对非线性系统的研究和分析一直采取局部线性化方法，但使用线性模型不能够很好地描述非线性特性和本质。

1.4 非线性系统的通性

（1）存在多个平衡点
非线性系统的平衡点往往不唯一。
（2）允许存在极限环
非线性系统可以在没有外界激励的情况下表现出固定振幅和固定周期的振荡。这些振荡称为极限环，或自激振荡。
（3）混沌
类似“蝴蝶效应”，非线性系统的输出对初始条件极其敏感，微小的初始条件差异会导致较大的输出结果改变。表现混沌的系统，具有时时不可预测的特性。
（4）可能存在自激振荡
非线性系统可能在没有外界周期信号作用时，内部产生固定振幅和频率的稳定周期运动，称之为自激振荡。而线性定常系统只有在临界稳定时会产生周期振荡运动。

1.5 了解非线性系统的研究方法普及

1.5.1 经典方法

相平面法、描述函数法、李雅普诺夫稳定性理论、基于泛函分析的输入输出动态稳定性理论等

1.5.2 新进方法

微分几何方法、逆系统方法、变结构控制、微分代数、微分对策等。

二、典型的非线性特性

三、描述函数法

3.1 近似代替

在一定条件下，系统中的非线性环节在正弦信号作用下的输出可以用一次谐波分量近似代替。由此导出描述函数，这是一种等效近似频率特性。使用一次谐波近似代替后，相当于滤掉高次谐波。

3.2 描述函数

3.2.1 描述函数的概念

对于典型非线性系统，设非线性环节的输入为：$$x(t)=A\sin \omega t$$则输出 $y(t)$ 通常是与输入同频率的非正弦周期奇对称函数。

对输出做傅里叶展开：$$y(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }(A_n\cos n\omega t+B_n\sin n\omega t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{Y}_n\sin (n\omega t+{\varphi }_n)$$其中，$A_0$ 是直流分量，且有：$$A_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)d\omega t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }y(t)d\omega t$$$$A_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\cos (n\omega t)d\omega t(n=1,2,\cdots )$$$$B_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\sin (n\omega t)d\omega t(n=1,2,\cdots )$$当 $y(t)$ 奇对称时，$A_0=0$；滤掉高次谐波后则有：$$y(t)\approx y_1(t)=A_1\cos \omega t+B_1\sin \omega t=Y_1\sin (\omega t+{\varphi }_1)$$其中：$$A_1=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\cos \omega td\omega t$$$$B_1=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\sin \omega td\omega t$$$$Y_1=\sqrt{A_1^2+B_1^2}$$$${\varphi }_1=\arctan \frac{A_1}{B_1}$$这样可以看出，原来输出 $y(t)$ 就被近似使用同频正弦信号表示了，变化的只是幅值和相位。也就是说，输入是 $x(t)=A\sin \omega t$，经过非线性环节后输出变为了 $y(t)=Y_1\sin (\omega t+{\varphi }_1)$

3.2.2 描述函数定义式

定义描述函数为：非线性环节输出信号的一次谐波分量与输入信号的复数之比。即：$$N(A)=|N(A)|{\mathrm{e}}^{j\angle N(A)}=\frac{Y_1}{A}{\mathrm{e}}^{j{\varphi }_1}=\frac{B_1+j{A}_1}{A}$$ 其中，$A$ 是输入信号的幅值，也是描述函数的自变量，一般情况下，描述函数是 $A$ 和 $\omega$ 的函数。但当非线性元件不含有储能元件时，输入一次谐波分量的幅值与相位差均与 $\omega$ 无关。

负倒描述函数：将描述函数取倒数再取负数，即：$-\frac{1}{N(A)}=-\frac{A}{B_1+j{A}_1}$（这个后面要用）

关于奇函数的结论：
（1）当非线性环节的正弦响应为关于 $t$ 的函数且该函数为奇对称函数，则 $A_0=0$，同时：$$A_1=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }y(t)\cos (\omega t)d\omega t$$$$B_1=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }y(t)\sin (\omega t)d\omega t$$
（2）当非线性特性为输入的奇函数时，即 $f(x)=-f(-x)$ 时，满足：$y(t+\frac{\pi }{\omega })=-y(t)$

证明： y ( t + π ω ) = f { A s i n [ ω ( t + π ω ) ] } = f [ A s i n ( ω t + π ) ] = f [ − A s i n ( ω t ) ] = − f [ A s i n ( ω t ) ] = − y ( t ) y(t+\frac{\pi}{\omega})=f\{A{\rm sin}[\omega(t+\frac{\pi}{\omega})]\}=f[A{\rm sin}(\omega t+\pi)]=f[-A{\rm sin}(\omega t)]=-f[A{\rm sin}(\omega t)]=-y(t) y(t+ωπ​)=f{Asin[ω(t+ωπ​)]}=f[Asin(ωt+π)]=f[−Asin(ωt)]=−f[Asin(ωt)]=−y(t)

（3）若 $y(t)$ 为奇函数，即 $y(-t)=-y(t)$ 时，$A_1=0$

证明：$$A_1=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\cos (\omega t)d\omega t$$被积函数为奇函数乘以偶函数，是奇函数，所以在$(0,2\pi )$ 上积分为 $0$.

（4）若 $y(t)$ 为奇函数，即 $y(-t)=-y(t)$ ，且在半周期内对称，即 $y(t_0+\frac{\pi }{2}-t)=y(t_0+\frac{\pi }{2}+t)$，则有 $$B_1=\frac{4}{\pi }{\int }_0^{\pi /2}y(t)\sin (\omega t)d\omega t$$

3.2.3 典型非线性环节的描述函数

3.2.4 非线性环节的串并联问题

（1）并联时，非线性环节输入相同，输出相叠加，等价于非线性环节叠加；

则 $y=y_1+y_2=N_{1}x+N_{2}x=(N_1+N_2)x$，所以上图等价于：

（2）串联时，需要分析信号的传递过程，第一个非线性环节的输出作为第二个非线性环节的输入，可以使用图解法进行求解。
例：比如有以下串联非线性环节：

则将 $N_2$ 放置在左上角，将 $N_1$ 旋转后放置在左下角，输出画在右上角，则图解法表示为：

3.3 使用描述函数法分析非线性系统稳定性

3.3.1 变增益系统稳定性分析

在频率分析法中，我们介绍了通过奈氏图判定系统稳定性的方法，即通过看奈氏图上包围 $(-1,j0)$ 点的圈数，并不加分析地总结为看 $(-1,j0)$点左侧正负穿越次数判定系统稳定性。为什么包含的是 $(-1,j0)$点，而不是 $(-2,j0)$点、$(-3,j0)$点……呢？

如果系统开环传递函数 $G(s)H(s)$ 已知，且不含有正实部极点，则其闭环特征方程为：$1+G(s)H(s)=0$，由于系统各个环节都是确定的，因此系统总增益 $K$ 被包含在了 $G(s)H(s)$ 项里面，换言之，上述闭环特征方程可以等价地写为 $1+K\frac{G(s)H(s)}{K}=0$，所以，在频率法中，求解其稳定的临界频率即是求解 $G(j\omega )H(j\omega )=-1$，等号右侧在复平面上表示为 $(-1,j0)$ 因此，看临界稳定，即是看 $(-1,j0)$ 点与奈氏图的关系。

现在问题是，如果系统增益是不确定的，即 $K_1<K<K_2$，如何分析系统稳定性呢？

从闭环特征方程角度出发，如果系统增益是变化的，那么闭环特征方程一定可以表示为 $1+KG(s)H(s)=0$的形式（注意，这里的 $G(s)H(s)$ 的增益为 1，总增益被提到了该项之前），系统框图可表示为：

那么求临界稳定条件，等价于求 $$G(j\omega )H(j\omega )=-\frac{1}{K}$$

由于 $K_1<K<K_2$，所以 $-\frac{1}{K}$ 是实轴上一条 $-\frac{1}{K_1}$ 到 $-\frac{1}{K_2}$ 的一条线段，因此，当 $G(j\omega )H(j\omega )$ 不包围 $(-\frac{1}{K_1},j0)(-\frac{1}{K_2},j0)$ 线段时，系统是稳定的。当$G(j\omega )H(j\omega )$ 包围 $(-\frac{1}{K_1},j0)(-\frac{1}{K_2},j0)$ 线段时，系统是不稳定的。当 $(-\frac{1}{K_1},j0)(-\frac{1}{K_2},j0)$ 线段穿过$G(j\omega )H(j\omega )$上时，也认为系统是不稳定的。

3.3.2 非线性系统稳定性分析

现假设系统由非线性部分和线性部分连续串联而成，线性部分不含有正实部极点，系统结构如下图所示：

注意：能化简成上述形式的系统必须满足“非线性部分和线性部分连续串联”，如下图则不适用于描述函数法：

若非线性部分和线性部分连续串联，且 $G(s)$的所有极点均具有负实部，则系统闭环频率特性表示为：
$$\Phi (j\omega )=\frac{N(A)G(j\omega )}{1+N(A)G(j\omega )}$$系统频率特征方程表示为：$1+N(A)G(j\omega )=0$，于是：$$G(j\omega )=-\frac{1}{N(A)}$$称 $-\frac{1}{N(A)}$ 为负倒描述函数，其在复平面上对应的曲线即为临界稳定曲线。

3.3.3 存在周期运动的非线性系统稳定性分析

当 $G(j\omega )$ 与 $-\frac{1}{N(A)}$ 有交点时，如下图所示，分为两种情况：

（1）如左图所示情况
$-\frac{1}{N(A)}$从不包围区域进入包围区域，设交点为 $-\frac{1}{N(A_0)}$
当 $A>A_0$ 时，运动幅值增大，且从不包围区域进入包围区域，此时系统运动幅值会越来越大。
当 $A<A_0$ 时，运动振幅减小，且从包围区域进入不包围区域，直至系统幅值至0。
这表明，系统的周期运动是不稳定的。

（2）如右图所示情况
当 $A<A_0$ 时，幅值减小，此时系统进入被包围区域，于是振幅增大，回到初始点。
当 $A>A_0$ 时，幅值增大，此时系统进入不包围区域，于是振幅减小，回到初始点。
这表明，系统的周期运动是稳定的。

四、相平面法

4.1 基本概念

相平面法是一种通过绘制相平面上系统位置和速度的相轨迹来分析系统性能的方法，适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的系统。

考虑某二阶时不变系统：$$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$$ 称 $x(t)$ 和 $\dot{x}(t)$ 为系统运动的相变量（状态变量）。以 $x(t)$ 和 $\dot{x}(t)$ 为横纵坐标构成的平面直角坐标系平面称为相平面。相变量的初始值 $x(t_0)=x_0,\dot{x}(t_0)={\dot{x}}_0$，随着时间 t 的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹。

对于某确定的初始条件，相平面上有且仅有一条相轨迹与之对应。多个初始条件下的运动形成多条相轨迹，称为相轨迹簇，一簇相轨迹对应的图形称为相平面图。

4.2 绘制相轨迹

4.2.1 变量消去法

从 $\ddot{x}=f(x,\dot{x})$ 中解出 $x$，对其求导得到 $\dot{x}$，联立 $x$ 和 $\dot{x}$，消去 $t$ 就可以得到 $\dot{x}\to x$ 的关系式。适用于较为简单的情况。

例：设系统微分方程为 $\ddot{x}+x=0$，初始条件 $x(0)=x_0,\dot{x}(0)=0$，求相轨迹。
解：从微分方程可求得 $x=x_0\cos (t)$，则 $\dot{x}=-x_0\sin (t)$，则有：$$x^2+{\dot{x}}^2=x_0^2$$该轨迹是圆心在原点，半径为 $x_0$的圆。

4.2.2 直接积分法

$$\ddot{x}=\frac{d\dot{x}}{dt}=\frac{d\dot{x}}{dx}\frac{dx}{dt}=\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}$$所以有：$$\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}=f(x,\dot{x})$$若可以写为：$g(\dot{x})d\dot{x}=h(x)dx$，则：
$${\int }_{{\dot{x}}_0}^{\dot{x}}g(\dot{x})d\dot{x}={\int }_{x_0}^{x}h(x)dx$$其中，${\dot{x}}_0$ 和 $x_0$ 是初始条件。

例：使用直接积分法求解 4.2.1 中问题的相轨迹。
解：将微分方程 $\ddot{x}+x=0$ 写为：$$\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}=-x$$等价于：$\dot{x}d\dot{x}=-xdx$，两侧积分，得：$${\int }_0^{\dot{x}}\dot{x}d\dot{x}={\int }_{x_0}^x-xdx$$解得：${\dot{x}}^2+x^2=x_0^2$，该轨迹是圆心在原点，半径为 $x_0$的圆。

4.2.3 等倾线法

根据 4.2.2 节中的论述，有：$$\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}=f(x,\dot{x})$$等价于：$$\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$$该方程描述了相平面图上某点 $(x,\dot{x})$ 处的斜率。用一条直线表示这样的斜率若干相轨迹，得到该斜率对应的等倾线，假设等倾线上相轨迹切线斜率为 $k$，则有：$$\dot{x}=\frac{f(x,\dot{x})}{k}$$该方程即为 $(x,\dot{x})$ 处的等倾线方程。

当 $k$ 取不同值时，等倾线遍布相平面，线性系统的等倾线是以原点为端点的一组射线，非线性系统往往是曲线。在每条等倾线上用一个小箭头表示斜率和方向，当初始条件给定后，就可以在其所在的等倾线上以切线方向做一段线段与第二条等倾线相交，然后再在第二条等倾线上做线段与第三条等倾线相交，当所做线段足够多，每条线段足够短时，便形成了连续的相轨迹图。而实际作图中，一般做若干条线段，然后平滑处理，得到相轨迹。

如图所示（胡寿松《自动控制原理（第六版）》p368）：

关于等倾线：
（1）坐标轴上 $(x,\dot{x})$ 的比例尺一般相同，以保证绘制的准确性；
（2）在 $x$ 轴上半平面，相轨迹走向从左到右，下半平面从右向左；
（3）除系统平衡点，相轨迹与 $x$ 轴交点处斜率应为 $\pm \infty$；
（4）等倾线越密集，相轨迹越准确；

4.3 奇点和奇线

4.3.1 奇点

若在某（些）点上有线性二阶系统：$$\ddot{x}=\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}=f(x,\dot{x})$$在某点 $(x,\dot{x})$ 处存在 $\dot{x}=0,f(x,\dot{x})=0$，则相轨迹斜率 $k=\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{0}{0}$，为未定式，此点称为系统奇点，也叫相平面上的平衡点。

4.3.1.1 线性二阶系统的相轨迹和奇点

线性二阶系统的相轨迹随阻尼比的变化而变化，其特征根的分布决定了系统运动的模态，对应不同的奇点类型。
（1）$\zeta <-1$
系统有两个不等的正实根，奇点为不稳定节点，相轨迹为发散曲线。

（2）$-1<\zeta <0$
系统有两个正实部的共轭复根，奇点为不稳定焦点，相轨迹为离心螺旋曲线。

（3）$\zeta =0$
系统有一对纯虚根，奇点为稳定中点，相轨迹为椭圆。

（4）$0<\zeta <1$
系统有两个负实部的共轭复根，奇点为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋曲线。

（5）$\zeta >1$
系统有两个不等的负实根，奇点为稳定节点，相轨迹为收敛曲线。

（6）正反馈系统
系统有一正一负的实根，奇点为鞍点，有两条等倾线是相轨迹，也是其他相轨迹的渐近线。

总结：横节纵焦，左稳右摇，实鞍虚中。
特征根横向分布于实轴的，为节点；
特征根纵向分布于象限的，为焦点；
特征根均在左侧的，稳定；
有特征根在右侧的，不稳定；
特征根在实轴上一正一负的，为鞍点；
特征根在虚轴上一正一负的，为中点。

4.3.1.2 非线性系统的奇点

处理方法：近似线性化
（参考胡寿松《自动控制原理（第六版）》，p374）
设非线性系统常微分方程为：$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$，若 $f(x,\dot{x})$ 解析，设奇点为 $(x_0,{\dot{x}}_0)$，则一次泰勒展开可以写为：$$\Delta \ddot{x}=\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial x}{|}_{(x,\dot{x})=(x_0,{\dot{x}}_0)}\Delta x+\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}{|}_{(x,\dot{x})=(x_0,{\dot{x}}_0)}\Delta \dot{x}$$进而确定平衡点附近相轨迹的运动形式。

例：已知某非线性系统的微分方程为：$$\ddot{x}+0.5\dot{x}+2x+x^2=0$$求系统的奇点，并判定奇点类型。
解：微分方程写为：$$\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}=-0.5\dot{x}-2x-x^2$$则相轨迹方程为：$$\frac{d\dot{x}}{dx}=-\frac{0.5\dot{x}+2x+x^2}{\dot{x}}$$令 $\frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{0}{0}$，得：$\dot{x}=0,x_1=0,x_2=-2$，所以系统有两个奇点：$\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ {\dot{x}}_1=0\end{array}$ $\{\begin{array}{l}{x}_2=-2\\ {\dot{x}}_2=0\end{array}$

对非线性系统在奇点处线性化，求得其线性增量方程。
在 $(0,0)$ 处：$$\frac{\partial f(x,\dot{x})}{dx}{|}_{(0,0)}=(-2-2x){|}_{(0,0)}=-2$$ $$\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}{|}_{(0,0)}=-0.5$$因此，其线性增量方程为：$$\Delta \ddot{x}=\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}\Delta \dot{x}=-2\Delta x-0.5\Delta \dot{x}$$ 等价于：$\Delta \ddot{x}+0.5\Delta \dot{x}+2\Delta x=0$

解得：$\Delta x_{1,2}=-0.25\pm 1.39j$，即在奇点 $(0,0)$ 处有一对负实部共轭复根，所以奇点 $(0,0)$ 为稳定焦点。

在 $(-2,0)$ 处：$$\frac{\partial f(x,\dot{x})}{dx}{|}_{(-2,0)}=(-2-2x){|}_{(-2,0)}=2$$ $$\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}{|}_{(-2,0)}=-0.5$$因此，其线性增量方程为：$$\Delta \ddot{x}=\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}\Delta \dot{x}=2\Delta x-0.5\Delta \dot{x}$$ 等价于：$\Delta \ddot{x}+0.5\Delta \dot{x}-2\Delta x=0$

解得：$\Delta x_1=-1.69,\Delta x_2=1.19$，即在奇点 $(-2,0)$ 处有一对负实部共轭复根，所以奇点 $(-2,0)$ 为鞍点。

4.3.2 奇线与极限环

非线性系统的平衡点可能不止一个，有时可能有无穷多个，这些奇点就会构成奇线。奇线是一种特殊的相轨迹，将平面分为具有不同运动特点的区域，最常见的是极限环。

极限环：由于非线性系统会出现自激振荡，相应的相平面就会出现一条孤立的封闭曲线，曲线附近的相轨迹渐进趋向于这条封闭曲线，或从曲线附件离开，这些特殊的轨迹就是极限环。极限环是非线性系统特有的现象。

极限环将平面分为两部分，分别是环内和环外。相轨迹不能穿越极限环，极限环附近不可能有其他极限环。极限环上，系统表现为自激振荡。

极限环有以下三种类型：
（1）稳定极限环
当 $t\to \infty$ 时，如果环内相轨迹和环外相轨迹均卷向极限环，且不跳出极限环，则该极限环为稳定极限环。

（2）不稳定极限环
当 $t\to \infty$ 时，如果环内相轨迹和环外相轨迹均卷离极限环，则该极限环为不稳定极限环。

（3）半稳定极限环
当 $t\to \infty$ 时，如果环内（外）相轨迹卷向极限环，而环外（内）相轨迹卷离极限环，则该极限环为半稳定极限环。

4.4 使用相平面法分析非线性系统

核心思想：分段线性化
先将平面环分为几个线性区域，然后按各段的微分方程画出对应的相轨迹，最后将相轨迹连接成连续曲线，就是完整的相轨迹曲线。各线性区域分界线称为开关线。

每个区域都对应一个奇点，如果奇点位于区域内，这种奇点称为实奇点；如果位于区域外，称为虚奇点。二阶非线性控制系统中，只能有一个实奇点。

例：具有死区特性的非线性系统如下

系统在 $r(t)=R\times 1(t)$ 输入下零状态响应，$\ddot{r}(t)=\dot{r}(t)=0$，绘制 $T=1,K=10,k=1,\Delta =0.2$ 时的偏差 $e$ 的相平面图。

解：系统微分方程：
$$T\ddot{c}(t)+\dot{c}(t)=Km(t)$$ $$m(t)=\{\begin{array}{l}k[e(t)+\Delta ],e(t)⩽-\Delta \\ 0,|e(t)|<\Delta \\ k[e(t)-\Delta ],e(t)⩾\Delta \end{array}$$ $$e(t)=r(t)-c(t)$$ 联立得：
$$\{\begin{array}{l}T\ddot{e}(t)+\dot{e}(t)+Kke(t)=T\ddot{r}(t)+\dot{r}(t)-Kk\Delta ,e⩽-\Delta \\ T\ddot{e}(t)+\dot{e}(t)=T\ddot{r}(t)+\dot{r}(t),|e(t)|<\Delta \\ T\ddot{e}(t)+\dot{e}(t)+Kke(t)=T\ddot{r}(t)+\dot{r}(t)+Kk\Delta ,e⩾\Delta \end{array}$$而 $\ddot{r}(t)=\dot{r}(t)=0$，并代入数值，于是有：
$$\{\begin{array}{l}(e(t)+0.2{)}^{\prime \prime }+(e(t)+0.2{)}^{\prime }+10(e(t)+0.2)=0,e⩽-0.2\\ \ddot{e}(t)+\dot{e}(t)=0,|e(t)|<0.2\\ (e(t)-0.2{)}^{\prime \prime }+(e(t)-0.2{)}^{\prime }+10(e(t)-0.2)=0,e⩾0.2\end{array}$$
对于区域1（$e⩽-0.2$），令$\frac{d\dot{e}}{d(e+0.2)}=\frac{0}{0}$，得奇点为： $(-0.2,0)$，为稳定焦点。

对于区域2（$|e(t)|<0.2$），$\frac{d\dot{e}(t)}{de(t)}=-1$，相轨迹为直线，奇点为 $(-\Delta ,\Delta )$ 的连续奇点。

对于区域3（$e⩾0.2$），令$\frac{d\dot{e}}{d(e-0.2)}=\frac{0}{0}$，得奇点为： $(0.2,0)$，为稳定焦点。

参考资料推荐