从正交基到内积的代数形式

flyfish

在标准正交基下，所有基向量的长度（模）是相等的，并且它们的长度是1。这就是为什么称之为“标准正交基”。

详细解释

1. 正交性：
   正交基要求不同的基向量彼此正交，即对于不同的基向量 ${\mathbf{e}}_i$ 和 ${\mathbf{e}}_j$（当 $i\ne j$ 时）：
   $${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j=0$$
   这意味着它们之间的夹角为 $90^{\circ }$，或者说它们是互相垂直的。

2. 归一化（单位长度）：
   标准正交基不仅要求向量正交，还要求每个基向量的长度为1。即：
   $$\Vert {\mathbf{e}}_i\Vert =1\text{对于所有的}i.$$
   这里的“长度”是指向量的模，即：
   $$\Vert {\mathbf{e}}_i\Vert =\sqrt{{\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_i}.$$
   所以，在标准正交基中，每个基向量的内积与其自身等于1，表示它们的长度为1。

两个基向量的长度可以不相等吗？

如果两个基向量的长度不相等，或者某些基向量的长度不是1，那么这些向量就不是标准正交基，而是正交基。正交基允许向量之间有不同的长度，但是如果要构成标准正交基，每个基向量的长度必须是1。

举个例子

1. 标准正交基（长度为1）：
   在三维空间中，标准正交基为：
   $${\mathbf{e}}_1=(1,0,0),{\mathbf{e}}_2=(0,1,0),{\mathbf{e}}_3=(0,0,1),$$
   这里每个向量的长度都是1。

2. 非标准正交基（长度不相等）：
   假设我们有两个正交向量 ${\mathbf{e}}_1=(1,0)$ 和 ${\mathbf{e}}_2=(0,2)$，它们是正交的，因为：
   $${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=1\times 0+0\times 2=0,$$
   但它们的长度不相同：
   $$\Vert {\mathbf{e}}_1\Vert =\sqrt{1^2+0^2}=1,\Vert {\mathbf{e}}_2\Vert =\sqrt{0^2+2^2}=2.$$
   这是一个正交基，但不是标准正交基，因为 ${\mathbf{e}}_2$ 的长度为 2，不是 1。

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标准正交基中的每个基向量的长度都是1，并且它们是正交的。
正交基中的向量可以有不同的长度，但它们依然是正交的。

在标准正交基下，${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j$ 的结果要么是 $1$，要么是 $0$，

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1. 正交性

正交基要求基向量彼此正交。
正交的定义是：
当 $i\ne j$ 时，两个基向量的内积为 $0$：
$${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j=0,\text{当 }i\ne j.$$
这意味着在几何上，${\mathbf{e}}_i$ 和 ${\mathbf{e}}_j$ 是两两垂直的，没有任何重叠。

几何解释：

• 内积的几何定义是：
  $${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j=\Vert {\mathbf{e}}_i\Vert \Vert {\mathbf{e}}_j\Vert \cos \theta ,$$
  其中 $\theta$ 是两个向量的夹角。
• 如果 ${\mathbf{e}}_i$ 和 ${\mathbf{e}}_j$ 垂直，则 $\theta =90^{\circ }$，而 $\cos 90^{\circ }=0$。因此：
  $${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j=0,\text{当 }i\ne j.$$

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2. 归一化

标准正交基不仅要求基向量彼此正交，还要求每个基向量的长度为 $1$（即单位向量）。
这意味着对于任意基向量 ${\mathbf{e}}_i$，有：
$$\Vert {\mathbf{e}}_i\Vert =1.$$

几何解释：

• 一个向量的长度（模）定义为：
  $$\Vert {\mathbf{e}}_i\Vert =\sqrt{{\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_i}.$$
• 如果基向量是单位向量，则有：
  $${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_i=1.$$

因此：
$${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_i=1,\text{当 }i=j.$$

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3 为什么 ${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j$ 只有两种情况？

基于以上两点（正交性和归一化），可以总结出以下性质：

1. 如果 $i=j$（即两个基向量是同一个向量），由于它们的长度为 1，且内积相当于计算其自身的模平方，因此：
   $${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j=1.$$

2. 如果 $i\ne j$（即两个基向量是不同的向量），由于它们彼此正交，所以内积为 $0$：
   $${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j=0.$$

这就是为什么 ${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j$ 的结果只能是 $1$ 或 $0$ 的原因。

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4. 实例验证

以三维欧几里得空间为例，标准正交基为：
$${\mathbf{e}}_1=(1,0,0),{\mathbf{e}}_2=(0,1,0),{\mathbf{e}}_3=(0,0,1).$$

计算内积：

• ${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_1=1\times 1+0\times 0+0\times 0=1$.
• ${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=1\times 0+0\times 1+0\times 0=0$.
• ${\mathbf{e}}_2\cdot {\mathbf{e}}_3=0\times 0+1\times 0+0\times 1=0$.

可以看到，${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j$ 满足定义。

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5. 为什么标准正交基这么重要？

• 在标准正交基下，内积公式变得极其简单：
  $$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i,$$
  因为只有 $i=j$ 的项才会保留，所有 $i\ne j$ 的项都为 $0$。

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准备工作

1. 向量表示：
   假设向量空间是 $n$-维欧几里得空间，且 { e 1 , e 2 , … , e n } \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n\} {e1​,e2​,…,en​} 是这个空间的一组标准正交基（正交归一基）。
   即满足：
   $${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j=\{\begin{array}{ll}1& \text{当 }i=j,\\ 0& \text{当 }i\ne j.\end{array}$$

2. 向量表示公式：
   对于任意向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，我们可以分别用基向量展开：
   $$\mathbf{u}=u_1{\mathbf{e}}_1+u_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +u_n{\mathbf{e}}_n=\sum _{i=1}^n{u}_i{\mathbf{e}}_i,$$
   $$\mathbf{v}=v_1{\mathbf{e}}_1+v_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v_n{\mathbf{e}}_n=\sum _{i=1}^n{v}_i{\mathbf{e}}_i,$$
   其中 $u_i$ 和 $v_i$ 分别是 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 在基向量 ${\mathbf{e}}_i$ 上的分量。

3. 内积的几何定义：
   两个向量的内积定义为：
   $$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos \theta ,$$
   其中 $\Vert \mathbf{u}\Vert$ 和 $\Vert \mathbf{v}\Vert$ 分别是向量的长度，$\theta$ 是它们之间的夹角。
   我们需要将这个几何定义转化为代数形式。

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推导过程

1. 将内积展开为基向量的组合

我们先利用线性代数中的分配律和基向量展开式，把 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$ 写成：
$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\left(\sum _{i=1}^n{u}_i{\mathbf{e}}_i\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^n{v}_j{\mathbf{e}}_j\right).$$

根据内积的分配律：
$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(u_i{v}_j)({\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j).$$

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2. 利用正交基的性质

在标准正交基下，我们有以下性质：
$${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j=\{\begin{array}{ll}1& \text{当 }i=j,\\ 0& \text{当 }i\ne j.\end{array}$$
这意味着当 $i\ne j$ 时，$({\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j)=0$，只有 $i=j$ 时，内积才有贡献。

因此，上式中 $i\ne j$ 的所有项都为零，剩下的只有 $i=j$ 的项：
$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i({\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_i).$$

由于基向量是单位向量（${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_i=1$），所以：
$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i.$$

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最终结果

我们得到了内积的代数形式：
$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i.$$

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正交基的性质简化了内积的计算。
公式 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}={\sum }_{i=1}^n{u}_i{v}_i$ 表示两个向量在每个维度上的投影积之和。
代数形式与几何意义一致，体现了内积是“投影长度与对应分量积的总和”。

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使用分配律来展开向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的内积过程

1. 对加法的分配律：对于任意三个向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$，有
   $$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c},$$
   以及
   $$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}.$$

2. 标量乘法的结合律：对于任意向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 和标量 $k$，有
   $$(k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=k(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot (k\mathbf{b}).$$

现在，用这些性质来详细地展开 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$。

假设 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 分别在标准正交基下表示为：
$$\mathbf{u}=u_1{\mathbf{e}}_1+u_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +u_n{\mathbf{e}}_n,$$
$$\mathbf{v}=v_1{\mathbf{e}}_1+v_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v_n{\mathbf{e}}_n.$$

那么，$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$ 可以写成：
$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=(u_1{\mathbf{e}}_1+u_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +u_n{\mathbf{e}}_n)\cdot (v_1{\mathbf{e}}_1+v_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v_n{\mathbf{e}}_n).$$

接下来，我们使用分配律来展开这个表达式。首先，将 $\mathbf{u}$ 看作一个整体，应用第一个分配律：
$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=(u_1{\mathbf{e}}_1+u_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +u_n{\mathbf{e}}_n)\cdot (v_1{\mathbf{e}}_1+v_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v_n{\mathbf{e}}_n)$$
$$=(u_1{\mathbf{e}}_1)\cdot (v_1{\mathbf{e}}_1+v_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v_n{\mathbf{e}}_n)+(u_2{\mathbf{e}}_2)\cdot (v_1{\mathbf{e}}_1+v_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v_n{\mathbf{e}}_n)+\cdots +(u_n{\mathbf{e}}_n)\cdot (v_1{\mathbf{e}}_1+v_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v_n{\mathbf{e}}_n).$$

然后，再次应用分配律到每个项上，比如对第一项：
$$(u_1{\mathbf{e}}_1)\cdot (v_1{\mathbf{e}}_1+v_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v_n{\mathbf{e}}_n)=u_1{v}_1({\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_1)+u_1{v}_2({\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2)+\cdots +u_1{v}_n({\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_n).$$

由于 ${\mathbf{e}}_i\cdot {\mathbf{e}}_j={\delta }_{ij}$，即当 $i=j$ 时为 1，否则为 0，我们可以简化上面的表达式：
$$u_1{v}_1({\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_1)+u_1{v}_2({\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2)+\cdots +u_1{v}_n({\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_n)=u_1{v}_1\cdot 1+u_1{v}_2\cdot 0+\cdots +u_1{v}_n\cdot 0=u_1{v}_1.$$

同样的方法可以应用于其他项，最后得到：
$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+\cdots +u_n{v}_n=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i.$$

这样，通过分配律得到了 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$，得到了内积的代数形式。