在网络流理论中，一个流 $f$ 是定义在网络图的边集上的一种函数，满足特定的守恒条件（即流入一个节点的流量等于流出该节点的流量，除非该节点是源点或汇点）。为了证明网络中的流形成一个凸集，我们需要证明对于任意两个流 $f_1$ 和 $f_2 $ 以及任意实数 $a$ 满足 $0\le a\le 1$，其线性组合 $a{f}_1+(1-a)f_2$ 也是一个流。

步骤1：定义和符号

假设我们有一个网络 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是节点集，$E$ 是边集。流 $f$ 是一个函数 $f:E\to \mathbb{R}$，满足以下两个条件：

1. 容量限制：对于每条边 $(u,v)\in E$，有 $f(u,v)\le \text{cap}(u,v)$。
2. 流量守恒：对于每个节点 v ∈ V ∖ { s , t } v \in V \setminus \{s, t\} v∈V∖{s,t}（其中 $s$ 是源点，$t$ 是汇点），有
   $$\sum _{(u,v)\in E}f(u,v)=\sum _{(v,w)\in E}f(v,w).$$

步骤2：线性组合

给定两个流 $f_1$ 和 $f_2$，以及 $0\le a\le 1$，我们定义新的函数 $f=a{f}_1+(1-a)f_2$。

步骤3：验证容量限制

对于任意边 $(u,v)\in E$：

$$f(u,v)=a{f}_1(u,v)+(1-a)f_2(u,v).$$

由于 $ f_1 $ 和 $ f_2 $ 都是流，因此 $ f_1(u, v) \leq \text{cap}(u, v) $ 和 $ f_2(u, v) \leq \text{cap}(u, v) $。因此：

$$f(u,v)=a{f}_1(u,v)+(1-a)f_2(u,v)\le a\text{cap}(u,v)+(1-a)\text{cap}(u,v)=\text{cap}(u,v).$$

这表明 $ f $ 满足容量限制。

步骤4：验证流量守恒

对于任意节点 v ∈ V ∖ { s , t } v \in V \setminus \{s, t\} v∈V∖{s,t}：

$$\begin{array}{rl}\sum _{(u,v)\in E}f(u,v)& =\sum _{(u,v)\in E}\left(a{f}_1(u,v)+(1-a)f_2(u,v)\right)\\ & =a\sum _{(u,v)\in E}{f}_1(u,v)+(1-a)\sum _{(u,v)\in E}{f}_2(u,v)\\ & =a\sum _{(v,w)\in E}{f}_1(v,w)+(1-a)\sum _{(v,w)\in E}{f}_2(v,w)\text{(因为 f1 和 f2 都满足流量守恒)}\\ & =\sum _{(v,w)\in E}\left(a{f}_1(v,w)+(1-a)f_2(v,w)\right)\\ & =\sum _{(v,w)\in E}f(v,w).\end{array}$$

这表明 $f$ 满足流量守恒条件。

结论

由于 $f=a{f}_1+(1-a)f_2$ 同时满足容量限制和流量守恒条件，因此 $ f $ 也是一个流。由此证明，网络中的流形成一个凸集。

示例代码（C语言）

下面是一个简单的C语言示例，展示如何计算两个流的线性组合并验证其性质。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>#define NUM_EDGES 4
#define NUM_NODES 3// 边的结构体
typedef struct {int u, v;double capacity;
} Edge;// 网络结构体
typedef struct {int numNodes;int numEdges;Edge edges[NUM_EDGES];
} Network;// 流结构体
typedef struct {double flow[NUM_EDGES];
} Flow;// 验证流是否满足条件
int validateFlow(Network* net, Flow* f) {for (int i = 0; i < net->numEdges; i++) {if (f->flow[i] > net->edges[i].capacity) {return 0; // 不满足容量限制}}// 验证流量守恒（除了源点和汇点）for (int v = 1; v < net->numNodes - 1; v++) {double inFlow = 0, outFlow = 0;for (int i = 0; i < net->numEdges; i++) {if (net->edges[i].v == v) inFlow += f->flow[i];if (net->edges[i].u == v) outFlow += f->flow[i];}if (inFlow != outFlow) return 0;}return 1;
}// 计算线性组合
Flow combineFlows(Flow* f1, Flow* f2, double a) {Flow result;for (int i = 0; i < NUM_EDGES; i++) {result.flow[i] = a * f1->flow[i] + (1 - a) * f2->flow[i];}return result;
}int main() {// 初始化网络Network net = {NUM_NODES, NUM_EDGES, {{0, 1, 10}, {1, 2, 10}, {0, 2, 10}, {1, 0, 0}}};// 初始化两个流Flow f1 = {{5, 5, 0, 0}};Flow f2 = {{3, 3, 4, 0}};// 验证两个流是否有效if (validateFlow(&net, &f1) && validateFlow(&net, &f2)) {printf("Both f1 and f2 are valid flows.\n");} else {printf("One of the flows is invalid.\n");return -1;}// 计算线性组合double a = 0.5;Flow combinedFlow = combineFlows(&f1, &f2, a);// 验证组合后的流是否有效if (validateFlow(&net, &combinedFlow)) {printf("The combined flow is also a valid flow.\n");} else {printf("The combined flow is not valid.\n");}return 0;
}

这个示例代码展示了如何定义网络、流，以及如何验证流的有效性。同时，它计算了两个流的线性组合，并验证了组合后的流是否仍然是一个有效的流。