【机器学习】机器学习的基本分类-监督学习-Lasso 回归（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）

Lasso 回归是一种线性回归方法，通过引入 $L_1$ 正则化（绝对值惩罚项）约束回归系数，既能解决多重共线性问题，又具有特征选择能力。

1. Lasso 回归的目标函数

Lasso 的目标是最小化以下损失函数：

$\text{Lasso Loss} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 + \lambda \sum_{j=1}^p |\beta_j|$

其中：

$\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2$ 是残差平方和。
$\sum_{j=1}^p |\beta_j|$ 是 $L_1$ 正则化项。
λ > 0 是正则化强度的超参数，控制对回归系数的惩罚程度。

2. Lasso 的特点

特征选择：
- $L_1$ 正则化能够将一些不重要的特征系数缩为 0，从而实现特征选择。
- 这是 Lasso 和岭回归的最大区别，岭回归仅会缩小系数，但不会完全归零。
对多重共线性的处理：
- 当特征之间存在较强相关性时，Lasso 更倾向于保留一个特征，压缩其他特征的系数为 0，从而简化模型。

3. 数学解读

目标函数

Lasso 的优化目标：

$\min_\beta \left\{ \| y - X\beta \|_2^2 + \lambda \| \beta \|_1 \right\}$

$\| y - X\beta \|_2^2$ ：拟合误差（最小化残差平方和）。
$\| \beta \|_1 = \sum_{j=1}^p |\beta_j|$ ：正则化项，控制模型复杂度。

几何解释

$L_1$ 正则化将优化问题的约束区域限制在菱形（ $L_1$ -范数球）内。
菱形的顶点位于坐标轴上，因此 Lasso 具有将某些系数缩为 0 的特性。

4. 优缺点

优点

特征选择能力：可以将不重要的特征系数缩为 0，直接实现特征筛选。
降低模型复杂度：减少模型的变量数量，从而提高模型的可解释性。
解决多重共线性问题：对共线特征进行选择性保留，避免过拟合。

缺点

可能偏差较大：Lasso 会对所有系数施加惩罚，可能导致模型在某些情况下表现不佳。
不适合高维数据：当样本数小于特征数时，Lasso 的选择结果可能不稳定。
对正则化参数敏感：λ 的选择对模型性能影响较大。

5. Lasso 回归的实现

以下是 Python 中使用 scikit-learn 的实现示例：

from sklearn.linear_model import Lasso
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import make_regression
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 生成数据
X, y = make_regression(n_samples=100, n_features=10, noise=10, random_state=42)# 数据集划分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 创建 Lasso 模型
lasso = Lasso(alpha=0.1)  # alpha 即 λ
lasso.fit(X_train, y_train)# 预测
y_pred = lasso.predict(X_test)# 评价
print("MSE:", mean_squared_error(y_test, y_pred))
print("回归系数:", lasso.coef_)

输出结果

MSE: 104.93221988874537
回归系数: [18.96025415 54.8553183   3.43132401 63.6082866  92.65442432 69.4820952984.42789762  8.49332936  2.90087787 71.0628166 ]

6. 正则化参数 λ 的调优

Lasso 中的超参数 λ（在 scikit-learn 中是 alpha）需要通过交叉验证选择。可以使用 LassoCV 进行自动调优：

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import make_regression
from sklearn.linear_model import LassoCV# 生成数据
X, y = make_regression(n_samples=100, n_features=10, noise=10, random_state=42)# 数据集划分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 自动选择最佳 λ
lasso_cv = LassoCV(alphas=[0.1, 1.0, 10.0], cv=5)  # 5 折交叉验证
lasso_cv.fit(X_train, y_train)# 最佳正则化参数
print("最佳 λ:", lasso_cv.alpha_)# 使用最佳参数的回归系数
print("回归系数:", lasso_cv.coef_)

输出结果

最佳 λ: 0.1
回归系数: [18.96025415 54.8553183   3.43132401 63.6082866  92.65442432 69.4820952984.42789762  8.49332936  2.90087787 71.0628166 ]

7. Lasso 与岭回归的比较

方法	正则化类型	特点	应用场景
岭回归	$L_2$ 范数	收缩系数，解决多重共线性问题	特征数量较多，但不需要特征选择时使用
Lasso 回归	$L_1$ 范数	稀疏化系数，具有特征选择能力	需要减少特征数量或增强模型解释性时
ElasticNet	$L_1 + L_2$ 范数	综合岭回归和 Lasso 的优点	高维数据特征筛选且有多重共线性时