最小化二进制字符串中最长相同子字符串的长度

在处理二进制字符串问题时，优化字符串结构以满足特定条件是一项常见的挑战。本文将探讨一个具体的问题：给定一个长度为 n 的二进制字符串 s 和一个整数 numOps，通过最多 numOps 次位翻转操作，最小化字符串 s 中最长相同子字符串的长度。

问题描述

输入

• 字符串 s：长度为 n 的二进制字符串，仅由字符 '0' 和 '1' 组成。
• 整数 numOps：允许执行的最大位翻转次数。

操作

在每次操作中，你可以选择任意一个下标 i（0 <= i < n），并翻转 s[i] 的值：

• 如果 s[i] == '1'，则将其改为 '0'。
• 如果 s[i] == '0'，则将其改为 '1'。

目标

通过最多 numOps 次操作，最小化字符串 s 中最长相同子字符串的长度。相同子字符串指的是子字符串中的所有字符都相同。

示例

示例 1

• 输入: s = "000001", numOps = 1
• 输出: 2
• 解释:
  • 将 s[2] 改为 '1'，得到 s = "001001"。
  • 此时，最长的相同子字符串为 s[0..1] 和 s[3..4]，长度均为 2。

示例 2

• 输入: s = "0000", numOps = 2
• 输出: 1
• 解释:
  • 将 s[0] 和 s[2] 改为 '1'，得到 s = "1010"。
  • 所有相同子字符串的长度均为 1。

示例 3

• 输入: s = "0101", numOps = 0
• 输出: 1
• 解释:
  • 不进行任何操作，字符串中所有相同子字符串的长度均为 1。

本题重要概念

段的分割

在优化字符串以最小化最长相同子字符串长度的过程中，段的分割是关键步骤。这里的“分割”不仅仅是简单地将字符串切开，而是通过翻转特定位置的字符，将一个连续的相同字符段划分为多个较小的段，从而减少最长段的长度。

具体来说，假设有一个长度为 k 的连续相同字符段。通过翻转其中的若干字符，可以将这个段分割成 seg + 1 个子段。每次翻转一个字符，相当于在该位置引入一个不同字符，从而将原来的段划分为两个部分。例如：

示例：考虑一个包含 10 个连续 ‘0’ 的字符串 “0000000000”。
如果我们翻转其中的 2 个 ‘0’ 为 ‘1’，例如将索引 3 和 7 位置的 ‘0’ 翻转为 ‘1’，字符串变为 “0001000100”。
这样，原本的 10 个 ‘0’ 被分割成了三个子段：“000”, “000”, 和 “00”。
经过这次分割，最长的 ‘0’ 子段长度由 10 减少到了 3。
通过这种方式，每次翻转操作都能有效地将一个较长的段分割成多个较短的段，从而逐步减少整个字符串中最长相同子字符串的长度。具体来说，一个长度为 k 的段，经过 seg 次分割后，每个子段的最大长度大约为 ceil(k / (seg + 1))。

解题思路

要最小化字符串中最长相同子字符串的长度，可以通过以下步骤进行优化：

1. 检查是否可以分割为长度为1的子串：

   • 首先判断是否可以通过最多 numOps 次翻转操作将字符串 s 转换为一个交替字符串，如 "1010" 或 "0101"。
   • 如果可以实现，则返回 1，因为此时最长的相同子字符串长度为 1。

2. 处理长度为2的字符串：

   • 对于长度为2的字符串，如果无法转换为交替字符串（即已经是 "00" 或 "11"），则不需要进一步分割。
   • 因为分割长度为2的字符串会影响前后部分，且前面已经判断了是否可以得到长度为1的结果。
   • 如果当前最长的子串长度已经是2，则答案必定是2。

3. 分段统计：

   • 将字符串 s 分割成连续的相同字符段。例如，"000001" 可以分为 ["00000", "1"]。

4. 优先处理最长段：

   • 通过优先将最长的相同字符段进行分割，可以有效减少最长段的长度。具体而言，使用优先队列（堆）来不断选择当前最长的段进行分割。

5. 段的分割：

   • 每次分割一个段，将其分成更多的小段，从而降低该段的最大长度。
   • 假设一个段的长度为 k，通过翻转特定位置的字符，将这个段分割seg次，成 seg + 1 个子段，每段的最大长度约为 ceil(k / (seg + 1))。

6. 迭代操作：

   • 重复上述过程，直到用完所有的操作次数 numOps 或者无法进一步优化。

7. 最终结果：

   • 操作完成后，堆顶元素即为当前最长相同子字符串的长度。

代码实现

from heapq import heapify, heapreplace
from itertools import groupbyclass Solution:def minLength(self, s: str, numOps: int) -> int:n = len(s)# 首先检查是否可以通过 numOps 次翻转将字符串转为交替字符串# 交替字符串有两种可能："0101..." 或 "1010..."# 计算将 s 转换为这两种模式所需的翻转次数ops_to_alternate_0 = sum(1 for i, c in enumerate(s) if c != ('0' if i % 2 == 0 else '1'))ops_to_alternate_1 = sum(1 for i, c in enumerate(s) if c != ('1' if i % 2 == 0 else '0'))min_ops_to_alternate = min(ops_to_alternate_0, ops_to_alternate_1)# 如果可以通过翻转操作将字符串转为交替字符串，则最长相同子字符串长度为1if min_ops_to_alternate <= numOps:return 1# 特殊处理长度为2的字符串if n == 2:# 如果已经是交替字符串，返回1if s[0] != s[1]:return 1# 否则，需要至少1次操作将其分割为交替elif numOps >= 1:return 1else:return 2  # 无法分割，最长相同子字符串长度为2# 分组统计连续相同字符的段groups = [len(list(group)) for _, group in groupby(s)]# 如果分组中所有段的长度均为1，则已经是交替字符串if all(g == 1 for g in groups):return 1# 初始化堆，存储每个段的最大长度及分割次数# 堆中存储 (-最大长度, 原始长度, 分割次数)heap = [(-g, g, 1) for g in groups]heapify(heap)for _ in range(numOps):max_seg, k, seg = heap[0]# 如果当前最长段已经不能进一步分割if max_seg == -2:return 2# 将当前最长段进行一次分割# 新的最大长度为 ceil(k / (seg + 1))，这里用整除代替ceil# 因为 k // (seg + 1) 已经是向下取整，取负数用于最大堆new_max = -(k // (seg + 1))# 更新分割次数new_seg = seg + 1# 替换堆顶元素heapreplace(heap, (new_max, k, new_seg))# 返回操作后的最长相同子字符串长度return -heap[0][0]