链式求导法则（Chain Rule of Calculus）
链式求导法则是微积分中的重要工具，用于处理复合函数的求导。它描述了如何计算一个函数的函数（复合函数）的导数。
1. 链式法则的定义
假设有一个复合函数 y = f(g(x))，其中：
- 外层函数为 f(u)，变量 u = g(x) 是内层函数。
链式求导法则表述为：
2. 直观理解
链式法则的核心思想是将复合函数的变化率分解为：
- 外层函数对内层函数的变化率（即 f'(u），
- 内层函数对自变量的变化率（即 g'(x)）。
两者的乘积就是复合函数的整体变化率。
3. 数学推导
设 y = f(u) 且 u = g(x)，则
其中：
：外层函数的导数。
：内层函数的导数。
因此，
4. 示例
示例 1：简单复合函数
已知 ，求导。
解：
- 令内层函数
，则
。
- 内层导数：
。
- 外层导数：
。
- 复合导数：
示例 2：自然对数函数
已知 ，求导。
解：
- 外层函数：
，导数为
。
- 内层函数：
，导数为
。
- 根据链式法则：
示例 3：三角函数
已知 ，求导。
解：
- 外层函数：
，导数为
。
- 内层函数：
，导数为
。
- 根据链式法则：
5. 多层复合函数
链式法则可以扩展到多层复合函数。
示例：多层复合函数
已知 ，求导。
解：
- 最内层函数：
，
。
- 第二层函数：
，
。
- 最外层函数：
，
。
- 逐步求导并合并：
6. 实际应用
-
机器学习：
- 反向传播算法中，链式法则被用来计算神经网络的梯度。
- 例如，损失函数对参数的梯度是通过层层求导实现的。
-
物理学：
- 计算复杂系统的变化率，例如多变量变化的传播速度。
-
经济学：
- 分析复合函数关系中的边际效应，例如价格对需求的间接影响。
7. 总结
链式法则是微分学的核心工具，用于处理复合函数的求导问题。它将复杂的导数问题分解为简单的步骤，是解析、优化和计算的重要基础。
