矩阵的行列式

在任意方阵中都存在至少一个标量，称作该方阵的行列式。在线性代数中，行列式有很多有用的性质

线性运算法则

方阵$M$的行列式记作$|M|$或“det M”。非方阵矩阵的行列式是未定义的。
注意，在书写行列式时，两边用竖线将数字块围起来，省略方括号。


如果将3×3阶矩阵的行解释为3个向量，那么矩阵的行列式等于这些向量的所谓“三元组积”

余子式

假设矩阵M有r行，c列。记法$M^{(ij)}$表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵。显然，该矩阵有r-1行，c-1列。矩阵M称作M的余子式。

代数余子式

对方阵M，给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式
$C_{ij}=(-1{)}^{(i+j)}\mid M^{(ij)}\mid$
记法$C_{ij}$表示M的第i行，第j列元素的代数余子式

余子式是一个矩阵，代数余子式是一个标量

代数余子式计算式中的项$(-1{)}^{(i+j)}$有以棋盘形式使矩阵的代数余子式每隔一个为负的效果:

$\mid M\mid =\sum _{i=1}^n{a}_i^2{x}_i$​​

行列式的性质

• 矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积:$|AB\mid =\mid A\mid \mid B|$。
• 这可以扩展到多个矩阵的情况:
  $\mid M_1{M}_2...M_n\mid =\mid M_1\mid \mid M_2\mid ...\mid M_n\mid$
• 矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式:$|M^T\mid =\mid M|$。
• 如果矩阵的任意行或列全为零，那么它的行列式等于零。
• 交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负。
• 任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的值。

几何解释

2D中，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积。有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位“翻转”，那么面积变负。
3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号体积。
3D中六面体“由里向外”翻转,则行列式变负。
行列式和矩阵变换导致的尺寸改变相关。
其中行列式的绝对值和面积(2D)、体积(3D)的改变相关。
行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜象或投影。
矩阵的行列式还能对矩阵所代表的变换进行分类。
如果矩阵行列式为零，那么该矩阵包含投影。
如果矩阵行列式为负，那么该矩阵包含镜象。

矩阵的逆

矩阵的求逆只能用于方阵
方阵$M$的逆，记做$M^{-1}$，也是一个矩阵，$M$与$M^{-1}$相乘，结果是单位矩阵
$M(M^{-1})=M^{-1}M=I$
并非所有矩阵都有逆。一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为零，用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不可逆的或奇异矩阵。奇异矩阵的行列式为零，非奇矩阵的行列式不为零，所以检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法。此外，对于任意可逆矩阵$M$，当且仅当$\vec{v}=\vec{0}$时，$\vec{v}M=0$。
$M$ 的“标准伴随矩阵”记作“adj M"，定义为$M$的所有代数余子式项构成的矩阵的转置矩阵。

M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置:

矩阵的逆能够用标准伴随矩阵除以行列式来求得:
$M^{-1}=\frac{adjM}{\mid M\mid }$

以上矩阵的计算如下：

矩阵的逆的重要性质:

• 如果M是非奇异矩阵，则该矩阵的逆的逆等于原矩阵: $(M^{-1}{)}^{-1}=M$。
• 单位矩阵的逆是它本身: $I^{-1}=Ⅰ$。
• 矩阵转置的逆等于它的逆的转置: $(M^T{)}^{-1}=(M^{-1}{)}^T$
• 矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的相反顺序的乘积: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。这可扩展到多个矩阵的情况:$(M_1{M}_2\dots M_n{)}^{-1}=M_n^{-1}...M_2^{-1}{M}_1^{-1}$

几何解释

矩阵的逆在几何上可以计算变换的“反向”或“相反”变换——能“撤消”原变换的变换。所以，如果向量 $\vec{v}$ 用矩阵 $M$ 来进行变换，接着用 $M$ 的逆 $M^{-1}$ 进行变换，将会得到原向量。
$(\vec{v}M)M^{-1}=\vec{v}(M{M}^{-1})=\vec{v}I=\vec{v}$