魔术介绍

$2025$ 年春节联欢晚会上刘谦表演的魔术是《画蛇添福》。刘谦共表演了两个魔术，其中的第一个魔术为观众共同参与的魔术。

第一个魔术的操作内容如下。

1. 准备三样物品：筷子、杯子、勺子。

2. 将三样物品按任意顺序排列。

3. 执行如下交换操作。

   1. 将筷子和左边的相邻物品互相交换位置，如果筷子已经在最左边则不交换。

   2. 将杯子和右边的相邻物品互相交换位置，如果杯子已经在最右边则不交换。

   3. 将勺子和左边的相邻物品互相交换位置，如果勺子已经在最左边则不交换。

4. 执行交换操作之后，最右边的物品是杯子。

魔术分析

由于只有 $3$ 样物品，因此不同的排列有 $3!=6$ 种，可以枚举所有的排列证明任意一种排列都满足执行交换操作之后最右边的物品是杯子。

初始排列	第一次交换操作后的排列	第二次交换操作后的排列	第三次交换操作后的排列
筷子、杯子、勺子	筷子、杯子、勺子	筷子、勺子、杯子	勺子、筷子、杯子
筷子、勺子、杯子	筷子、勺子、杯子	筷子、勺子、杯子	勺子、筷子、杯子
杯子、筷子、勺子	筷子、杯子、勺子	筷子、勺子、杯子	勺子、筷子、杯子
杯子、勺子、筷子	杯子、筷子、勺子	筷子、杯子、勺子	筷子、勺子、杯子
勺子、筷子、杯子	筷子、勺子、杯子	筷子、勺子、杯子	勺子、筷子、杯子
勺子、杯子、筷子	勺子、筷子、杯子	勺子、筷子、杯子	勺子、筷子、杯子

$6$ 种初始排列中，有 $5$ 种初始排列满足最终排列是勺子、筷子、杯子，有 $1$ 种初始排列满足最终排列是筷子、勺子、杯子。

根据交换操作的内容，也可以证明最终排列的最右边的物品是杯子。

1. 第一次交换操作之后，筷子一定位于最左边或中间。

2. 第二次交换操作之后，杯子一定位于中间或最右边。如果此时杯子已经位于最右边，则第三次交换操作不会改变杯子的位置，杯子仍位于最右边。

3. 前两次交换操作之后，如果杯子位于中间，则由于筷子不能在最右边，因此筷子一定在最左边，勺子一定在最右边，第三次操作将杯子和勺子交换位置之后，杯子位于最右边。

由于最终排列只需要满足最右边的物品是杯子，因此筷子和勺子的作用是等价的。将第一次交换操作与第三次交换操作的内容交换，同样满足最终排列的最右边的物品是杯子。

透过现象看本质，三次交换操作可以满足如下要求。

• 当初始排列的杯子位于最右边时，杯子总是位于最右边。

• 当初始排列的杯子位于中间时，经过一次交换操作或两次交换操作之后，杯子位于最右边。

• 当初始排列的杯子位于最左边时，一定有两次交换操作将杯子移动到最右边。第二次交换操作可以确保杯子向右移动一次。第一次与第三次交换操作不相邻，因此其中一定有一次交换操作是与杯子交换位置，由于第一次与第三次交换操作指定的物品分别是筷子和勺子且向左移动，因此当交换操作涉及到杯子时杯子一定向右移动。

总结

严格说，杯子在最右边的魔术不是传统意义上的魔术，而是一个可以全民参与的数学问题。

交换操作似乎像冒泡排序，其实并不是冒泡排序。

冒泡排序是一种比较类排序，即通过比较元素大小决定元素之间的相对顺序的排序方法。冒泡排序的原理是多次遍历序列，每次比较相邻的两个元素，如果顺序错误则交换。排序过程中，大的元素会移动到序列的末尾，如同水中的气泡上浮到顶端，故名冒泡排序。

魔术中的操作只是将特定物品和左边或右边的相邻物品互相交换物品，物品之间不存在大小关系，魔术也不能推广到更多物品的场景，因此魔术的原理并非冒泡排序。