算法笔记(二):二分查找

二分查找

1、基础版

public static int binarySearch(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length - 1;while (i <= j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {			// 在左边j = m - 1;} else if (a[m] < target) {		// 在右边i = m + 1;} else {return m;}}return -1;
}

i 是插入点

2、左闭右开区间

核心:j索引位置的元素,一定不是要查找的元素

public static int binarySearch(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length;while (i < j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {			// 在左边j = m;} else if (a[m] < target) {		// 在右边i = m + 1;} else {return m;}}return -1;
}

3、平衡版

问题:当查找的元素在数组最左边或者最右边时,就会导致不平衡

public static int binarySearchBalance(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length;while (1 < j - i) {    //j-i是指还未被比较的元素个数,只有一个时,直接跳出循环int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {j = m;} else {i = m;}}return (a[i] == target) ? i : -1;
}

优点:循环内比较次数少了
缺点:必须等退出循环了才能得到结果

注意:i不能等于m+1,因为else的情况包括target==a[m],如果i=m+1,那就略过了这个正确的查询结果

4、二分查找 Java 版

private static int binarySearch0(long[] a, int fromIndex, int toIndex,long key) {int low = fromIndex;int high = toIndex - 1;while (low <= high) {int mid = (low + high) >>> 1;long midVal = a[mid];if (midVal < key)low = mid + 1;else if (midVal > key)high = mid - 1;elsereturn mid; // key found}return -(low + 1);  // key not found.
}
  • 例如 [ 1 , 3 , 5 , 6 ] [1,3,5,6] [1,3,5,6] 要插入 2 2 2 ,那么就是找到一个位置,这个位置左侧元素都比它小
    • 等循环结束,若没找到,low 左侧元素肯定都比 target 小,因此 low 即插入点
  • 插入点取负是为了与找到情况区分
  • -1 是为了把索引 0 位置的插入点与找到的情况进行区分

5、最左/最右

  • 对于数组 [ 1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 ] [1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7] [1,2,3,4,4,5,6,7],查找元素4,结果是索引3

  • 对于数组 [ 1 , 2 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 ] [1, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7] [1,2,4,4,4,5,6,7],查找元素4,结果也是索引3,并不是最左侧的元素

如果希望返回的是要查找的元素中最左侧元素

public static int binarySearchLeftmost1(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length - 1;int candidate = -1;while (i <= j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {j = m - 1;} else if (a[m] < target) {i = m + 1;} else {candidate = m; // 记录候选位置j = m - 1;     // 继续向左}}return candidate;
}

如果希望返回的是要查找的元素中最右侧元素

public static int binarySearchRightmost1(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length - 1;int candidate = -1;while (i <= j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {j = m - 1;} else if (a[m] < target) {i = m + 1;} else {candidate = m; // 记录候选位置i = m + 1;	   // 继续向右}}return candidate;
}

6、最左/最右升级版

对于 Leftmost 与 Rightmost,可以返回一个比 -1 更有用的值

Leftmost 改为

public static int binarySearchLeftmost(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length - 1;while (i <= j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target <= a[m]) {j = m - 1;} else {i = m + 1;}}return i; 
}
  • leftmost 返回值的另一层含义: < t a r g e t \lt target <target 的元素个数
  • 小于等于中间值,都要向左找

Rightmost 改为

public static int binarySearchRightmost(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length - 1;while (i <= j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {j = m - 1;} else {i = m + 1;}}return i - 1;
}
  • 大于等于中间值,都要向右找

在这里插入图片描述

7、范围查询

  • 查询 x < 4 x \lt 4 x<4 0.. l e f t m o s t ( 4 ) − 1 0 .. leftmost(4) - 1 0..leftmost(4)1
  • 查询 x ≤ 4 x \leq 4 x4 0.. r i g h t m o s t ( 4 ) 0 .. rightmost(4) 0..rightmost(4)
  • 查询 4 < x 4 \lt x 4<x,$rightmost(4) + 1 … \infty $
  • 查询 4 ≤ x 4 \leq x 4x l e f t m o s t ( 4 ) . . ∞ leftmost(4) .. \infty leftmost(4)..∞
  • 查询 4 ≤ x ≤ 7 4 \leq x \leq 7 4x7 l e f t m o s t ( 4 ) . . r i g h t m o s t ( 7 ) leftmost(4) .. rightmost(7) leftmost(4)..rightmost(7)
  • 查询 4 < x < 7 4 \lt x \lt 7 4<x<7 r i g h t m o s t ( 4 ) + 1.. l e f t m o s t ( 7 ) − 1 rightmost(4)+1 .. leftmost(7)-1 rightmost(4)+1..leftmost(7)1

8、求排名

l e f t m o s t ( t a r g e t ) + 1 leftmost(target) + 1 leftmost(target)+1

  • t a r g e t target target 可以不存在,如: l e f t m o s t ( 5 ) + 1 = 6 leftmost(5)+1 = 6 leftmost(5)+1=6
  • t a r g e t target target 也可以存在,如: l e f t m o s t ( 4 ) + 1 = 3 leftmost(4)+1 = 3 leftmost(4)+1=3

9、求前任

l e f t m o s t ( t a r g e t ) − 1 leftmost(target) - 1 leftmost(target)1

  • l e f t m o s t ( 3 ) − 1 = 1 leftmost(3) - 1 = 1 leftmost(3)1=1,前任 a 1 = 2 a_1 = 2 a1=2
  • l e f t m o s t ( 4 ) − 1 = 1 leftmost(4) - 1 = 1 leftmost(4)1=1,前任 a 1 = 2 a_1 = 2 a1=2

10、求后任

r i g h t m o s t ( t a r g e t ) + 1 rightmost(target)+1 rightmost(target)+1

  • r i g h t m o s t ( 5 ) + 1 = 5 rightmost(5) + 1 = 5 rightmost(5)+1=5,后任 a 5 = 7 a_5 = 7 a5=7
  • r i g h t m o s t ( 4 ) + 1 = 5 rightmost(4) + 1 = 5 rightmost(4)+1=5,后任 a 5 = 7 a_5 = 7 a5=7

11、求最近邻居

  • 前任和后任距离更近者

12、二分查找性能(复杂度)

下面分析二分查找算法的性能

时间复杂度

  • 最坏情况: O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)
  • 最好情况:如果待查找元素恰好在数组中央,只需要循环一次 O ( 1 ) O(1) O(1)

空间复杂度

  • 需要常数个指针 i , j , m i,j,m i,j,m,因此额外占用的空间是 O ( 1 ) O(1) O(1)

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