概念

二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL树的特点：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
$O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

AVL树节点定义

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;// 该节点的左孩子AVLTreeNode<K, V>* _right;// 该节点的右孩子AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 该节点的父节点pair<K, V> _kv;// 该节点的平衡因子int _bf;AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};

AVL树节点插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

更新平衡因子的规则:
1、新增在右，parent->bf++; 新增在左，parent->bf–:
2、更新后，parent->bf == 1 r -1，说明parent插入前的平衡因子是0，说明左右子树高度相等，插入后有一边高，parent高度变了，需要继续往上更新
3、更新后，parent->bf == 0，说明parent插入前的平衡因子是1 r -1，说明左右子树一边高-边低，插入后两边一样高，插入填上了矮了那边，parent所在子树高度不变，不需要继续往上更新
4更新后，parent->bf == 2 r -2，说明parent插入前的平衡因子是1 or -1，已经平衡临界值，插入变成2 or -2，打破平衡，parent所在子树需要旋转处理。
5更新后，parent->bf > 2 r< -2的值，不可能，如果存在，则说明插入前就不是AVL树，需要去检查之前操作的问题.

AVL树四种旋转情况

左单旋

	void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//1.parent是整棵树的根//2.parent是子树的根if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}subR->_bf = parent->_bf = 0;}

右单旋

	//右单旋void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (ppNode == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}

先左单旋再右单旋

void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//旋转完后的根节点subLR->_bf = 0;if (bf == 1){subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subL->_bf = 1;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}

先右单旋后左单旋

	//右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

元素的插入及控制平衡

typedef AVLTreeNode<K, V> Node;bool Insert(const pair<K, V>& kv){//如果当前树为空直接设置节点if (_root == NULL){_root = new Node(kv);return true;}//需要有指针记录上一个移动位置Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//寻找合适位置插入while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//直接插入节点并设置它的指向cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//控制平衡//1.更新平衡因子while (parent){if (parent->_right == cur){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (abs(parent->_bf) == 1){	//如果为1整体向上移动再次调增平衡parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (abs(parent->_bf) == 2){//说明parent所在子树已经不平衡了，需要旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{//预防调整出错情况assert(false);}break;}else{//预防调整出错情况assert(false);}}return true;}

判断最后节点是否平衡

	//判断是否平衡
bool _IsBanlance(Node* root){if (root == NULL){return true;}int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);if (rightH - leftH != root->_bf){cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(leftH - rightH) < 2&& _IsBanlance(root->_left)&& _IsBanlance(root->_right);}//计算它的最大高度int _Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);return max(leftH, rightH) + 1;}