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一、导数与微分的基本概念

1.1 导数的基本概念

设y = f(x)在x = a处可导，则f(x)在x = a处导数的等价定义为f’(a) = ${\lim }_{\Delta x\to 0}$$\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ = ${\lim }_{h\to 0}$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ = ${\lim }_{x\to a}$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

${\lim }_{h\to 0-}$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ = ${\lim }_{x\to a-}$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$称为f(x)在x = a处的左导数，记为f_-'(a)。

${\lim }_{h\to 0+}$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ = ${\lim }_{x\to a+}$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$称为f(x)在x = a处的右导数，记为f₊'(a)。

划重点

• 函数f(x)在x = a处导数存在的充要条件是f(x)在x = a处左右导数都存在且相等。
• 若f(x)在x = a处可导，则f(x)在x = a处连续，反之不对。
• 设函数f(x)连续，且${\lim }_{x\to a}$$\frac{f(x)-b}{x-a}$ = A，则f(a) = b，f’(a) = A。
• 偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数。
• 周期函数的导数是同周期的周期函数，反之不对。
• f(x)可导 => f(x)处处有导数；f(x)连续可导 => f’(x)为连续函数。
• 函数f(x)在x = a处的导数是曲线y = f(x)在点x = a处的切线的斜率，且切线方程为f(x) - f(a) = f’(a)(x - a)
• 设函数f(x)在x = a处不可导，但是f’'(x)在x = a处不一定不可导。
• 设函数f(x)在x = a处可导，则|f(x)|在x = a处的可导性如下
  若f(a) ≠ 0，则|f(x)|在x = a处可导
  若f(a) = 0，则当f’(a) = 0时，|f(x)|在x = a处可导；当f’(a) ≠ 0时，|f(x)|在x = a处不可导。

1.2 微分的基本概念

设y = f(x)，Δx = x - x₀，Δy = f(x₀ + Δx) - f(x)，若Δy = AΔx + o(Δx)，则称f(x)在x = x₀处可微，其中AΔx称为y = f(x)在x = x₀处的微分，记为dy|_x=x0 = AΔx，或dy|_x=x0 = Adx。AΔx又称为线性部分。

划重点

• 可导与可微等价。
• A = f’(x)
• 设y = f(x)处处可微，则dy = d[f(x)] = f’(x)dx为y = f(x)的微分。
• 若f(x)在x = x₀处可微，则Δy - dy = o(Δx)。

1.3 连续、可导、可微的关系

• 若f(x)在x = x₀处连续，则|f(x)|在x = x₀处连续，反之不对。
• 若f(x)在x = x₀处可导（或可微），则f(x)在x = x₀处连续，反之不对。

二、导数与微分的基本概念题目类型

2.1 讨论f(x)在某点处的连续性与可导性

根本还是求极限。用到了两个结论
f(x)在某点连续的充要条件是在该点的左极限等于右极限等于函数值。
f(x)在某点可导的充要条件是在该点的左右导数都存在且相等。

本题答案是不一定，是通过举例特殊函数在特殊点处的可导性来说明的。

三、求导公式与法则

3.1 求导及求微分的基本公式

原函数	一阶导函数	特别的
C‘	0
(xa)’	axa-1	($\sqrt[]{x}$)’ = $\frac{1}{2\sqrt[]{x}}$，($\frac{1}{x}$)’ = -$\frac{1}{x{}^2}$
(ax)’	axlna（a> 0，a ≠ 1）	(ex) = ex
(logax)’	$\frac{1}{xlna}$（a> 0，a ≠ 1）	(ln x)’ = $\frac{1}{x}$

三角函数和反三角函数求导

原函数	一阶导函数
(sin x)’	cos x
(cos x)’	-sin x
(tan x)’	sec2 x
(cot x)’	-csc2 x
(sec x)’	sec x tant x
(csc x)’	-csc x cot x
(arcsin x)’	$\frac{1}{\sqrt[]{1-x{}^2}}$
(arccos x)’	-$\frac{1}{\sqrt[]{1-x{}^2}}$
(arctan x)’	$\frac{1}{1+x{}^2}$
(arccot x)’	-$\frac{1}{1+x{}^2}$
(sin x)(n)	sin(x + $\frac{n\Pi }{2}$)
(cos x)(n)	cos(x + $\frac{n\Pi }{2}$)
($\frac{1}{ax+b}$)(n)	$\frac{(-1){}^{n}n!a{}^n}{(ax+b){}^n{}^{+}{}^1}$

3.2 反函数求导法则

• 设函数y = f(x)可导，且f’(x) ≠ 0，则y = f(x)存在可导的反函数x = φ(y)，且φ’(y) = $\frac{1}{f^{\prime }(x)}$
• 设函数y = f(x)二阶可导，且f’(x) ≠ 0，则y = f(x)存在二阶可导的反函数x = φ(y)，且φ’'(y) = $\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f^{\prime }{}^3(x)}$

四、隐函数与参数方程确定的函数求导

4.1 隐函数的导数

• 隐函数概念
  设x，y满足方程F(x,y) = 0（其中x ∈ D），若对任意的x ∈ D，由方程F(x,y) = 0可以有唯一确定的y的与之对应，称方程F(x,y) = 0确定y为x的隐函数。
• 隐函数存在定理
  设函数F(x,y)在点(x₀,y₀)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x₀,y₀) = 0，F_y(x₀,y₀) ≠ 0，则在(x₀,y₀)的某一邻域内由方程F(x,y) = 0恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y = f(x)，它满足y₀ = f(x₀)，并有$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{F_x}{F_y}$，其中F_x为F(x,y)对x的偏导数，F_y为F(x,y)对y的偏导数。

4.2 参数方程确定的函数求导

设y = y(x)是由
$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$
确定的函数，其中φ(t)，ψ(t)可导且φ’(t) ≠ 0，由
$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$
确定的函数称为参数方程确定的函数，且$\frac{d_y}{d_x}$ = $\frac{\frac{d_y}{d_t}}{\frac{d_x}{d_t}}$ = $\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$。

若φ(t)，ψ(t)二阶可导且φ’(t) ≠ 0，则$\frac{d{}_y^2}{d_x{}^2}$ = $\frac{{\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }{}^3(t)}$

以下两种情形也归结为参数方程的导数

（1）由
$$\{\begin{array}{l}F(x,t)=0\\ G(y,t)=0\end{array}$$
确定的y = y(x)，求$\frac{d_y}{d_x}$。

（2）设函数y = y(x)对应的极坐标形式为r = r(θ)，求$\frac{d_y}{d_x}$。

先将r = r(θ)转化成参数形式
$$\{\begin{array}{l}x=r(\theta )cos\theta \\ y=r(\theta )sin\theta \end{array}$$
则$\frac{d_y}{d_x}$ = $\frac{r^{\prime }(\theta )sin\theta +r(\theta )cos\theta }{r^{\prime }(\theta )cos\theta -r(\theta )sin\theta }$

五、隐函数与参数方程确定的函数求导题目类型

5.1 由方程F(x,y)确定的y = y(x)，求$\frac{d_y}{d_x}$

方程两边对x求导，需要注意的是y是x的函数。

5.2 参数方程确定的函数求导

本题不仅涉及到参数方程确定的函数求导，还用到了隐函数求导。