Python 梯度下降法（七）：Summary

一、核心思想

1.1 核心思想

梯度下降法的核心思想是通过不断调整参数，使损失函数的值逐渐减小。每次迭代中，参数沿着损失函数梯度的反方向更新，直到达到最小值或收敛。

在Python 梯度下降法系列文章中，我们从基础到进阶，逐步深入探讨了梯度下降法的原理、实现和优化方法。

Python 梯度下降法（一）：Gradient Descent我介绍了常用的梯度下降法，其核心公式为：
$${\theta }_{t+1}:={\theta }_t-\eta {\nabla }_{\theta }J(\theta )$$

这篇文章详细讲解了如何有效使用这一公式，并通过 Python 实现了一个简单的梯度下降算法。

负梯度下降是下降的最快方向，但是由于步长的存在，导致路径并不是最优的，如A->C是沿负梯度进行，但是其并不是最优解，B->C的过程并不是最优的选择。

在后续的文章中，我们逐步探讨了如何基于梯度下降法的核心公式进行优化，优化思路：

1. 使学习率$\eta$改变，即改变步长
2. 使梯度${\nabla }_{\theta }J(\theta )$改变，即改变方向
3. 在$\theta$更新之前进行处理，可使之变小，即权重衰减

1.2 优化方法概述

以降低算法的复杂度、资源占用率，并提升其在实际应用中的性能。这些优化方法包括：

• 批量梯度下降（BGD）：使用全部数据计算梯度，稳定性高但计算开销大。
• 随机梯度下降（SGD）：每次迭代使用单个样本计算梯度，计算速度快但收敛不稳定。
• 小批量梯度下降（Mini-batch GD）：结合 BGD 和 SGD 的优点，使用小批量数据计算梯度。
• 动量法（Momentum）：引入动量项，加速收敛并减少震荡。
• 自适应学习率方法：如 AdaGrad、RMSProp、Adadelta、Adam 和 NAdam，动态调整学习率，适合处理稀疏数据和非凸优化问题。

1.3 第三方库的使用

这些梯度下降的方法可以使用，torch.optim 里面的库来实现

torch进行机器学习流程概述：

4. 生成示例数据：可以使用torch生成随机数据作为训练数据
5. 定义线性模型：使用torch.nn.Linear定义一个简答的线性模型
6. 定义损失函数：使用均方误差损失函数torch.nn.MESLoss
7. 定义优化器：使用torch.optim里面的类，设置参数
8. 训练模型：进行多次迭代，每次迭代计算损失并且更新模型参数
9. 可视化：绘制损失函数图像，当然这是博客需要，你可以绘制原始数据和拟合直线。

二、 BGD

2.1 介绍

Python 梯度下降法（一）：Gradient Descent-CSDN博客

GD：

BGD：

SGD — PyTorch 2.6 documentation

2.2 torch 库算法

通过官方给定的算法，我们可以发现$\text{momentum}\ne 0$时，即为Momentum梯度下降法，故就不在后文赘述。

2.2 代码示例

optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0)

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import matplotlib.pyplot as plt# 生成随机数据
# 生成 100 个在 [0, 2) 之间的随机数作为输入特征
x = 2 * torch.rand(100, 1)
# 生成对应的目标值，添加一些随机噪声
y = 4 + 3 * x  +  torch.randn(100, 1)loss_ = []   # 存储历史损失值# 定义线性模型
model = nn.Linear(1, 1)# 定义损失函数
criterion = nn.MSELoss()# 定义优化器，使用批量梯度下降（BGD），学习率设置为 0.01
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0)# 训练模型
num_epochs = 1000
threshold = 1e-8
for epoch in range(num_epochs):# 前向传播outputs = model(x)loss = criterion(outputs, y)  # 使用MES（均方误差损失）的方式计算损失值loss_.append(loss.item())# 反向传播和优化optimizer.zero_grad()  # 在每次迭代中将梯度清零loss.backward()  # 反向传播，根据链式法则自动计算损失函数对每个参数的偏导数，并将这些梯度存储在参数的 .grad 属性optimizer.step()  # 根据优化算法更新参数# 检查是否收敛if epoch > 1 and abs(loss_[-1] - loss_[-2]) < threshold:print(f"Converged at iteration {epoch}")break# 可视化结果
print("斜率：", model.weight.item(), "偏移量：", model.bias.item())
# 绘制损失函数图像
plt.plot(range(len(loss_)), loss_)
plt.title('Linear Regression using BGD')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)  # 显示网格线
plt.show()

2.3 SGD

2.4 SGD代码示例

其类似BGD，只是每次拟合的样本数据为1

这里使用DataLoader模块来进行数据的选择

from torch.utils.data import TensorDataset, DataLoader# 创建数据集对象
dataset = TensorDataset(x, y)# 设置 batch_size
batch_size = 1
# 创建数据加载器，指定 batch_size 和是否打乱数据
dataloader = DataLoader(dataset, batch_size=batch_size, shuffle=True)

总代码：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
from torch.utils.data import TensorDataset, DataLoader
import matplotlib.pyplot as plt# 生成随机数据
# 生成 100 个在 [0, 2) 之间的随机数作为输入特征
x = 2 * torch.rand(100, 1)
# 生成对应的目标值，添加一些随机噪声
y = 4 + 3 * x  +  torch.randn(100, 1)loss_ = []   # 存储历史损失值# 定义线性模型
model = nn.Linear(1, 1)# 定义损失函数
criterion = nn.MSELoss()# 定义优化器，使用批量梯度下降（BGD），学习率设置为 0.01
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0)# 创建数据集对象
dataset = TensorDataset(x, y)# 设置 batch_size
batch_size = 1
# 创建数据加载器，指定 batch_size 和是否打乱数据
dataloader = DataLoader(dataset, batch_size=batch_size, shuffle=True)# 训练模型
num_epochs = 10
threshold = 1e-8
for epoch in range(num_epochs):# 前向传播for inputs, labels in dataloader:outputs = model(inputs)loss = criterion(outputs, labels)  # 使用MES（均方误差损失）的方式计算损失值loss_.append(loss.item())# 反向传播和优化optimizer.zero_grad()  # 在每次迭代中将梯度清零loss.backward()  # 反向传播，根据链式法则自动计算损失函数对每个参数的偏导数，并将这些梯度存储在参数的 .grad 属性optimizer.step()  # 根据优化算法更新参数# 检查是否收敛if epoch > 1 and abs(loss_[-1] - loss_[-2]) < threshold:print(f"Converged at iteration {epoch}")break# 可视化结果
print("斜率：", model.weight.item(), "偏移量：", model.bias.item())
# 绘制损失函数图像
plt.plot(range(len(loss_)), loss_)
plt.title('Linear Regression using BGD')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)  # 显示网格线
plt.show()

2.5 MBGD

2.6 MBGD 代码示例

设置$1<\text{batch\_size}<\text{all}$，即可实现

总代码：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
from torch.utils.data import TensorDataset, DataLoader
import matplotlib.pyplot as plt# 生成随机数据
# 生成 100 个在 [0, 2) 之间的随机数作为输入特征
x = 2 * torch.rand(100, 1)
# 生成对应的目标值，添加一些随机噪声
y = 4 + 3 * x  +  torch.randn(100, 1)loss_ = []   # 存储历史损失值# 定义线性模型
model = nn.Linear(1, 1)# 定义损失函数
criterion = nn.MSELoss()# 定义优化器，使用批量梯度下降（BGD），学习率设置为 0.01
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0)# 创建数据集对象
dataset = TensorDataset(x, y)# 设置 batch_size
batch_size = 40
# 创建数据加载器，指定 batch_size 和是否打乱数据
dataloader = DataLoader(dataset, batch_size=batch_size, shuffle=True)# 训练模型
num_epochs = 100
threshold = 1e-8
for epoch in range(num_epochs):# 前向传播for inputs, labels in dataloader:outputs = model(inputs)loss = criterion(outputs, labels)  # 使用MES（均方误差损失）的方式计算损失值loss_.append(loss.item())# 反向传播和优化optimizer.zero_grad()  # 在每次迭代中将梯度清零loss.backward()  # 反向传播，根据链式法则自动计算损失函数对每个参数的偏导数，并将这些梯度存储在参数的 .grad 属性optimizer.step()  # 根据优化算法更新参数# 检查是否收敛if epoch > 1 and abs(loss_[-1] - loss_[-2]) < threshold:print(f"Converged at iteration {epoch}")break# 可视化结果
print("斜率：", model.weight.item(), "偏移量：", model.bias.item())
# 绘制损失函数图像
plt.plot(range(len(loss_)), loss_)
plt.title('Linear Regression using SGD')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)  # 显示网格线
plt.show()

即，总结：

三、 Adagrad

3.1 介绍

Python 梯度下降法（三）：Adagrad Optimize-CSDN博客

学习率除一个数值，这个数值是历史上所有梯度数据的平方再开方。$g_t^2$越大，学习率越小，使得学习率自适应。

假设一个参数累计历史梯度极大，那么经过计算更新这个一步之后，它的学习率反而会变小。相反的，如果一个参数累计历史梯度极小，那么经过计算更新这一步之后，它的学习率反而会变大。

缺点：累加的太快，学习率小的太快，导致最后的学习很慢。

Adagrad — PyTorch 2.6 documentation

3.2 torch 库算法

3.3 代码示例

optimizer = optim.Adagrad(model.parameters(), lr=lr)

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import matplotlib.pyplot as plt# 生成随机数据
# 生成 100 个在 [0, 2) 之间的随机数作为输入特征
x = 2 * torch.rand(100, 1)
# 生成对应的目标值，添加一些随机噪声
y = 4 + 3 * x  +  torch.randn(100, 1)loss_ = []   # 存储历史损失值# 定义线性模型
model = nn.Linear(1, 1)# 定义损失函数
criterion = nn.MSELoss()# 定义优化器，使用Adagrad，学习率设置为 0.01
lr = 0.8
optimizer = optim.Adagrad(model.parameters(), lr=lr)# 训练模型
num_epochs = 1000
threshold = 1e-8
for epoch in range(num_epochs):# 前向传播outputs = model(x)loss = criterion(outputs, y)  # 使用MES（均方误差损失）的方式计算损失值loss_.append(loss.item())# 反向传播和优化optimizer.zero_grad()  # 在每次迭代中将梯度清零loss.backward()  # 反向传播，根据链式法则自动计算损失函数对每个参数的偏导数，并将这些梯度存储在参数的 .grad 属性optimizer.step()  # 根据优化算法更新参数# 检查是否收敛if epoch > 1 and abs(loss_[-1] - loss_[-2]) < threshold:print(f"Converged at iteration {epoch}")break# 可视化结果
print("斜率：", model.weight.item(), "偏移量：", model.bias.item())
# 绘制损失函数图像
plt.plot(range(len(loss_)), loss_)
plt.title('Linear Regression using Adagrad')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)  # 显示网格线
plt.show()

四、 Adadelta

4.1 介绍

Python 梯度下降法（四）：Adadelta Optimize-CSDN博客

Adadelta 是正对 Adagrad 学习速率衰减过快问题做出的改进。改进思路和RMSProp很像，但是其背后是基于一次梯度近似代替二次梯度的思想。Adagrad 会累加之前所有的梯度平方，而 Adadelta 只累加固定大小的项，并且也不直接存储这些项，仅仅是近似计算对应的平均值。

Adadelta — PyTorch 2.6 documentation

4.2 torch 库算法

4.3 代码示例

optimizer = optim.Adadelta(model.parameters(), lr=lr)

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import matplotlib.pyplot as plt# 生成随机数据
# 生成 100 个在 [0, 2) 之间的随机数作为输入特征
x = 2 * torch.rand(100, 1)
# 生成对应的目标值，添加一些随机噪声
y = 4 + 3 * x  +  torch.randn(100, 1)loss_ = []   # 存储历史损失值# 定义线性模型
model = nn.Linear(1, 1)# 定义损失函数
criterion = nn.MSELoss()# 定义优化器，Adadelta
lr = 2
optimizer = optim.Adadelta(model.parameters(), lr=lr)  # 衰减率默认为0.9# 训练模型
num_epochs = 1000
threshold = 1e-8
for epoch in range(num_epochs):# 前向传播outputs = model(x)loss = criterion(outputs, y)  # 使用MES（均方误差损失）的方式计算损失值loss_.append(loss.item())# 反向传播和优化optimizer.zero_grad()  # 在每次迭代中将梯度清零loss.backward()  # 反向传播，根据链式法则自动计算损失函数对每个参数的偏导数，并将这些梯度存储在参数的 .grad 属性optimizer.step()  # 根据优化算法更新参数# 检查是否收敛if epoch > 1 and abs(loss_[-1] - loss_[-2]) < threshold:print(f"Converged at iteration {epoch}")break# 可视化结果
print("斜率：", model.weight.item(), "偏移量：", model.bias.item())
# 绘制损失函数图像
plt.plot(range(len(loss_)), loss_)
plt.title('Linear Regression using Adadelta')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)  # 显示网格线
plt.show()

五、RMSProp

5.1 介绍

Python 梯度下降法（二）：RMSProp Optimize-CSDN博客

Adagrad 根据平方梯度的整个历史来收缩学习率，可能使得学习率在达到局部最小值之前就变得太小而难以继续训练；

RMSProp 使用指数衰减平均以丢弃遥远的历史，使其能够在找到某个“凸”结构后快速收敛；此外，RMSProp 还加入了一个超参数$\rho$用于控制衰减率。

RMSProp 主要思想：使用指数加权移动平均的方法计算累积梯度，以丢弃遥远的梯度历史信息（让距离当前越远的梯度的缩减下学习率的权重越小）

衰减率表明的是只是最近的梯度平方有意义，而很久以前的梯度基本上会被遗忘。

RMSprop — PyTorch 2.6 documentation

5.2 torch 库算法

5.3 代码示例

optimizer = optim.RMSprop(model.parameters(), lr=lr)

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import matplotlib.pyplot as plt# 生成随机数据
# 生成 100 个在 [0, 2) 之间的随机数作为输入特征
x = 2 * torch.rand(100, 1)
# 生成对应的目标值，添加一些随机噪声
y = 4 + 3 * x  +  torch.randn(100, 1)loss_ = []   # 存储历史损失值# 定义线性模型
model = nn.Linear(1, 1)# 定义损失函数
criterion = nn.MSELoss()# 定义优化器，RMSprop
lr = 0.01
optimizer = optim.RMSprop(model.parameters(), lr=lr)  # 衰减率默认为0.99# 训练模型
num_epochs = 1000
threshold = 1e-8
for epoch in range(num_epochs):# 前向传播outputs = model(x)loss = criterion(outputs, y)  # 使用MES（均方误差损失）的方式计算损失值loss_.append(loss.item())# 反向传播和优化optimizer.zero_grad()  # 在每次迭代中将梯度清零loss.backward()  # 反向传播，根据链式法则自动计算损失函数对每个参数的偏导数，并将这些梯度存储在参数的 .grad 属性optimizer.step()  # 根据优化算法更新参数# 检查是否收敛if epoch > 1 and abs(loss_[-1] - loss_[-2]) < threshold:print(f"Converged at iteration {epoch}")break# 可视化结果
print("斜率：", model.weight.item(), "偏移量：", model.bias.item())
# 绘制损失函数图像
plt.plot(range(len(loss_)), loss_)
plt.title('Linear Regression using RMSprop')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)  # 显示网格线
plt.show()

六、Adam

6.1 介绍

Python 梯度下降法（五）：Adam Optimize-CSDN博客

Adam 算法的本质：其实就是 Momentum + RMSProp 的结合，让后再修正其偏差。Adam 对梯度的一阶和二阶都进行了估计与偏差修正，使用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计来动态调整每个参数的学习率（参数更新的频率）。

缺点：Adam 优化器在权重衰减的处理上存在问题，Adam 算法弱化了 L2 范数正则化的作用，导致模型过拟合或者训练效果不佳。

Adam — PyTorch 2.6 documentation

6.2 torch 库算法

6.3 代码示例

optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=lr)

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import matplotlib.pyplot as plt# 生成随机数据
# 生成 100 个在 [0, 2) 之间的随机数作为输入特征
x = 2 * torch.rand(100, 1)
# 生成对应的目标值，添加一些随机噪声
y = 4 + 3 * x  +  torch.randn(100, 1)loss_ = []   # 存储历史损失值# 定义线性模型
model = nn.Linear(1, 1)# 定义损失函数
criterion = nn.MSELoss()# 定义优化器，Adam
lr = 0.03
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=lr)  # 默认beta: 0.9, 0.99# 训练模型
num_epochs = 1000
threshold = 1e-8
for epoch in range(num_epochs):# 前向传播outputs = model(x)loss = criterion(outputs, y)  # 使用MES（均方误差损失）的方式计算损失值loss_.append(loss.item())# 反向传播和优化optimizer.zero_grad()  # 在每次迭代中将梯度清零loss.backward()  # 反向传播，根据链式法则自动计算损失函数对每个参数的偏导数，并将这些梯度存储在参数的 .grad 属性optimizer.step()  # 根据优化算法更新参数# 检查是否收敛if epoch > 1 and abs(loss_[-1] - loss_[-2]) < threshold:print(f"Converged at iteration {epoch}")break# 可视化结果
print("斜率：", model.weight.item(), "偏移量：", model.bias.item())
# 绘制损失函数图像
plt.plot(range(len(loss_)), loss_)
plt.title('Linear Regression using Adam')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)  # 显示网格线
plt.show()

七、Nadam

7.1 介绍

Python 梯度下降法（六）：Nadam Optimize-CSDN博客

Nadam 类似带有 Nesterov 动量项的Adam

其对学习率有了更强的约束，同时对梯度的会更新也有更直观的影响。
NAdam — PyTorch 2.6 documentation

7.2 torch 库算法

7.3 代码示例

optimizer = optim.NAdam(model.parameters(), lr=lr)

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import matplotlib.pyplot as plt# 生成随机数据
# 生成 100 个在 [0, 2) 之间的随机数作为输入特征
x = 2 * torch.rand(100, 1)
# 生成对应的目标值，添加一些随机噪声
y = 4 + 3 * x  +  torch.randn(100, 1)loss_ = []   # 存储历史损失值# 定义线性模型
model = nn.Linear(1, 1)# 定义损失函数
criterion = nn.MSELoss()# 定义优化器，NAdam
lr = 0.03
optimizer = optim.NAdam(model.parameters(), lr=lr)  # 默认beta: 0.9, 0.99# 训练模型
num_epochs = 1000
threshold = 1e-8
for epoch in range(num_epochs):# 前向传播outputs = model(x)loss = criterion(outputs, y)  # 使用MES（均方误差损失）的方式计算损失值loss_.append(loss.item())# 反向传播和优化optimizer.zero_grad()  # 在每次迭代中将梯度清零loss.backward()  # 反向传播，根据链式法则自动计算损失函数对每个参数的偏导数，并将这些梯度存储在参数的 .grad 属性optimizer.step()  # 根据优化算法更新参数# 检查是否收敛if epoch > 1 and abs(loss_[-1] - loss_[-2]) < threshold:print(f"Converged at iteration {epoch}")break# 可视化结果
print("斜率：", model.weight.item(), "偏移量：", model.bias.item())
# 绘制损失函数图像
plt.plot(range(len(loss_)), loss_)
plt.title('Linear Regression using NAdam')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)  # 显示网格线
plt.show()

八、 总结

使用torch库，我们可以比较轻松的实现梯度下降法的大部分算法。

九、相关链接

Python 梯度下降法合集：

• Python 梯度下降法（一）：Gradient Descent-CSDN博客
• Python 梯度下降法（二）：RMSProp Optimize-CSDN博客
• Python 梯度下降法（三）：Adagrad Optimize-CSDN博客
• Python 梯度下降法（四）：Adadelta Optimize-CSDN博客
• Python 梯度下降法（五）：Adam Optimize-CSDN博客
• Python 梯度下降法（六）：Nadam Optimize-CSDN博客
• Python 梯度下降法（七）：Summary-CSDN博客