一、用O记号表示函数(n ^ 3)/1000-100(n^2)-100n十3。

文心一言：

chatgpt：

可以使用大 O 记号表示该函数的渐进复杂度，即：

$$f(n)=\frac{n^3}{1000}-100n^2-100n^{13}=O(n^3).$$

其中，$O(n^3)$ 表示该函数在 $n$ 趋近于无穷大时，其增长速度不超过 $n^3$ 的一个上界。

二、考虑排序存储在数组A 中的n 个数:首先找出A 中的最小元素并将其与A[1]中的元素进行交换。接着，找出A中的次最小元素并将其与 A[2]中的元素进行交换。对A 中前n-1个元素按该方式继续。该算法称为选择算法，写出其伪代码。该算法维持的循环不变式是什么?为什么它只需要对前 n-1个元素，而不是对所有n 个元素运行?用记号O给出选择排序的最好情况与最坏情况运行时间。

文心一言：

chatgpt：

选择排序的伪代码如下：

SelectionSort(array A)
1. for i = 1 to n - 1
2.     minIndex = i
3.     for j = i + 1 to n
4.         if A[j] < A[minIndex]
5.             minIndex = j
6.     swap(A[i], A[minIndex])

该算法的循环不变式是：在每次循环开始时，已经将 $A[1\sim i-1]$ 中的元素按非降序排列，且它们已经放置在正确的位置上。

选择排序只需要对前 $n-1$ 个元素进行操作，因为最后一个元素已经被确定，没有必要再去比较、交换。

选择排序的最好情况与最坏情况的运行时间都是 $O(n^2)$。在最好情况下，数组本来就是有序的，但算法还是需要进行 $n-1$ 次比较和 $0$ 次交换；在最坏情况下，数组是逆序的，每次循环都需要进行 $n-i$ 次比较和 $1$ 次交换，所以总共需要进行 ${\sum }_{i=1}^{n-1}(n-i)=\frac{n^2-n}{2}$ 次比较和交换。