【数据结构-树】AVL树

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博客目录

- 一.简介
- - 1.AVL 历史
  - 2.如何判断失衡？
  - 3.节点的高度
  - 4.何时触发失衡判断？
- 二.自平衡
- - 1.失衡的四种情况
  - 2.LL
  - 3.LR
  - 4.RL
  - 5.RR
  - 6.解决失衡
  - 7.右旋
  - 8.左旋
  - 9.左右旋
  - 10.右左旋
- 三.新增与删除
- - 1.新增
  - 2.删除
  - 3.完整代码
  - 4.小结

一.简介

1.AVL 历史

AVL 树是一种自平衡二叉搜索树，由托尔·哈斯特罗姆在 1960 年提出并在 1962 年发表。它的名字来源于发明者的名字：Adelson-Velsky 和 Landis，他们是苏联数学家，于 1962 年发表了一篇论文，详细介绍了 AVL 树的概念和性质。

在二叉搜索树中，如果插入的元素按照特定的顺序排列，可能会导致树变得非常不平衡，从而降低搜索、插入和删除的效率。为了解决这个问题，AVL 树通过在每个节点中维护一个平衡因子来确保树的平衡。平衡因子是左子树的高度减去右子树的高度。如果平衡因子的绝对值大于等于 2，则通过旋转操作来重新平衡树。

AVL 树是用于存储有序数据的一种重要数据结构，它是二叉搜索树的一种改进和扩展。它不仅能够提高搜索、插入和删除操作的效率，而且还能够确保树的深度始终保持在 O(log n) 的水平。随着计算机技术的不断发展，AVL 树已经成为了许多高效算法和系统中必不可少的一种基础数据结构。

如果一棵二叉搜索树长的不平衡，那么查询的效率会受到影响，如下图

通过旋转可以让树重新变得平衡，并且不会改变二叉搜索树的性质（即左边仍然小，右边仍然大）

2.如何判断失衡？

如果一个节点的左右孩子，高度差超过 1，则此节点失衡，才需要旋转

叶子节点的高度默认为 1

网上遍历,高度越高

3.节点的高度

如何得到节点高度？一种方式之前做过的一道题目：E05. 求二叉树的最大深度（高度），但由于求高度是一个非常频繁的操作，因此将高度作为节点的一个属性，将来新增或删除时及时更新，默认为 1（按力扣说法）

static class AVLNode {int height = 1;int key;Object value;AVLNode left;AVLNode right;// ...
}

求高度代码

这里加入了 height 函数方便求节点为 null 时的高度

private int height(AVLNode node) {return node == null ? 0 : node.height;
}

更新高度代码

将来新增、删除、旋转时，高度都可能发生变化，需要更新。下面是更新高度的代码

private void updateHeight(AVLNode node) {node.height = Integer.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
}

4.何时触发失衡判断？

定义平衡因子（balance factor）如下

$平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度$

当平衡因子

bf = 0，1，-1 时，表示左右平衡
bf > 1 时，表示左边太高
bf < -1 时，表示右边太高

对应代码

private int bf(AVLNode node) {return height(node.left) - height(node.right);
}

当插入新节点，或删除节点时，引起高度变化时，例如

目前此树平衡，当再插入一个 4 时，节点们的高度都产生了相应的变化，8 节点失衡了

在比如说，下面这棵树一开始也是平衡的

当删除节点 8 时，节点们的高度都产生了相应的变化，6 节点失衡了

二.自平衡

1.失衡的四种情况

2.LL

失衡节点（图中 8 红色）的 bf > 1，即左边更高
失衡节点的左孩子（图中 6）的 bf >= 0 即左孩子这边也是左边更高或等高

3.LR

失衡节点（图中 8）的 bf > 1，即左边更高
失衡节点的左孩子（图中 6 红色）的 bf < 0 即左孩子这边是右边更高

对称的还有两种情况

4.RL

失衡节点（图中 3）的 bf <-1，即右边更高
失衡节点的右孩子（图中 6 红色）的 bf > 0，即右孩子这边左边更高

5.RR

失衡节点（图中 3）的 bf <-1，即右边更高
失衡节点的右孩子（图中 6 红色）的 bf <= 0，即右孩子这边右边更高或等高

6.解决失衡

失衡可以通过树的旋转解决。什么是树的旋转呢？它是在不干扰元素顺序的情况下更改结构，通常用来让树的高度变得平衡。

观察下面一棵二叉搜索树，可以看到，旋转后，并未改变树的左小右大特性，但根、父、孩子节点都发生了变化

      4                                   2/ \             4 right             / \2   5      -------------------->    1   4/ \         <--------------------       / \1   3              2 left               3   5

7.右旋

旋转前

红色节点，旧根（失衡节点）
黄色节点，旧根的左孩子，将来作为新根，旧根是它右孩子
绿色节点，新根的右孩子，将来要换爹作为旧根的左孩子

旋转后

代码

private AVLNode rightRotate(AVLNode red) {AVLNode yellow = red.left;AVLNode green = yellow.right;yellow.right = red;red.left = green;return yellow;
}

8.左旋

旋转前

红色节点，旧根（失衡节点）
黄色节点，旧根的右孩子，将来作为新根，旧根是它左孩子
绿色节点，新根的左孩子，将来要换爹作为旧根的右孩子

旋转后

代码

private AVLNode leftRotate(AVLNode red) {AVLNode yellow = red.right;AVLNode green = yellow.left;yellow.left = red;red.right = green;return yellow;
}

9.左右旋

指先左旋左子树，再右旋根节点（失衡），这时一次旋转并不能解决失衡

左子树旋转后

根右旋前

根右旋后

代码

private AVLNode leftRightRotate(AVLNode root) {root.left = leftRotate(root.left);return rightRotate(root);
}

10.右左旋

指先右旋右子树，再左旋根节点（失衡）

右子树右旋后

根左旋前

根左旋后

代码

private AVLNode rightLeftRotate(AVLNode root) {root.right = rightRotate(root.right);return leftRotate(root);
}

判断及调整平衡代码

private AVLNode balance(AVLNode node) {if (node == null) {return null;}int bf = bf(node);if (bf > 1 && bf(node.left) >= 0) {return rightRotate(node);} else if (bf > 1 && bf(node.left) < 0) {return rightLeftRotate(node);} else if (bf < -1 && bf(node.right) > 0) {return leftRightRotate(node);} else if (bf < -1 && bf(node.right) <= 0) {return rightRotate(node);}return node;
}

以上四种旋转代码里，都需要更新高度，需要更新的节点是红色、黄色，而绿色节点高度不变

三.新增与删除

1.新增

public void put(int key, Object value) {root = doPut(root, key, value);
}private AVLNode doPut(AVLNode node, int key, Object value) {if (node == null) {return new AVLNode(key, value);}if (key == node.key) {node.value = value;return node;}if (key < node.key) {node.left = doPut(node.left, key, value);} else {node.right = doPut(node.right, key, value);}updateHeight(node);return balance(node);
}

2.删除

public void remove(int key) {root = doRemove(root, key);
}private AVLNode doRemove(AVLNode node, int key) {if (node == null) {return null;}if (key < node.key) {node.left = doRemove(node.left, key);} else if (node.key < key) {node.right = doRemove(node.right, key);} else {if (node.left == null) {node = node.right;} else if (node.right == null) {node = node.left;} else {AVLNode s = node.right;while (s.left != null) {s = s.left;}s.right = doRemove(node.right, s.key);s.left = node.left;node = s;}}if (node == null) {return null;}updateHeight(node);return balance(node);
}

3.完整代码

public class AVLTree {static class AVLNode {int height = 1;int key;Object value;AVLNode left;AVLNode right;public AVLNode(int key) {this.key = key;}public AVLNode(int key, Object value) {this.key = key;this.value = value;}public AVLNode(int key, Object value, AVLNode left, AVLNode right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}AVLNode root;private AVLNode leftRotate(AVLNode p) {AVLNode r = p.right;AVLNode b = r.left;r.left = p;p.right = b;updateHeight(p);updateHeight(r);return r;}private void updateHeight(AVLNode node) {node.height = Integer.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;}private AVLNode rightRotate(AVLNode r) {AVLNode a = r.left;AVLNode b = a.right;a.right = r;r.left = b;updateHeight(r);updateHeight(a);return a;}private AVLNode leftRightRotate(AVLNode p) {AVLNode r = p.left;p.left = leftRotate(r);return rightRotate(p);}private AVLNode rightLeftRotate(AVLNode p) {AVLNode r = p.right;p.right = rightRotate(r);return leftRotate(p);}private int height(AVLNode node) {return node == null ? 0 : node.height;}public void remove(int key) {root = doRemove(root, key);}private AVLNode doRemove(AVLNode node, int key) {if (node == null) {return null;}if (key < node.key) {node.left = doRemove(node.left, key);} else if (node.key < key) {node.right = doRemove(node.right, key);} else {if (node.left == null) {node = node.right;} else if (node.right == null) {node = node.left;} else {AVLNode s = node.right;while (s.left != null) {s = s.left;}s.right = doRemove(node.right, s.key);s.left = node.left;node = s;}}if (node == null) {return null;}updateHeight(node);return balance(node);}public void put(int key, Object value) {root = doPut(root, key, value);}private AVLNode doPut(AVLNode node, int key, Object value) {if (node == null) {return new AVLNode(key, value);}if (key == node.key) {node.value = value;return node;}if (key < node.key) {node.left = doPut(node.left, key, value);} else {node.right = doPut(node.right, key, value);}updateHeight(node);return balance(node);}private int bf(AVLNode node) {return height(node.left) - height(node.right);}private AVLNode balance(AVLNode node) {if (node == null) {return null;}int bf = bf(node);if (bf > 1 && bf(node.left) >= 0) {return rightRotate(node);} else if (bf > 1 && bf(node.left) < 0) {return rightLeftRotate(node);} else if (bf < -1 && bf(node.right) > 0) {return leftRightRotate(node);} else if (bf < -1 && bf(node.right) <= 0) {return rightRotate(node);}return node;}
}