差分算法解析

差分（Difference Array）是一种常见的算法技巧，广泛应用于区间更新与区间查询的问题。它通过将数组的更新操作转化为数组的差分操作，使得某些类型的算法能在更短的时间内完成计算，尤其在处理频繁的区间更新时表现得尤为高效。

在这篇博客中，我们将介绍差分算法的基本思想，解释其如何应用于区间问题，并通过一个具体的例子来展示如何在 Java 中实现差分算法。

一、差分数组的基本思想

假设我们有一个数组 arr，如果我们希望对这个数组的某一部分进行频繁的修改，直接在数组上进行修改会导致时间复杂度过高。差分数组提供了一个高效的解决方案。

差分数组的定义

差分数组 diff 是通过对原数组 arr 中相邻元素的差值来构造的。具体地，差分数组 diff[i] 定义为：

diff[i] = arr[i] - arr[i-1]（对于 i >= 1）
diff[0] = arr[0]（即原数组的第一个元素）

区间更新

差分数组最常见的应用是 区间更新。我们可以通过对差分数组的操作，快速更新原数组的某一段区间。例如，对于区间 [l, r] 上的加法操作（将数组中从索引 l 到 r 的每个元素加上一个常数 v），我们只需对差分数组做以下两个操作：

diff[l] += v
diff[r + 1] -= v（假设 r + 1 不越界）

最后，我们可以通过将差分数组还原为原数组来获得最终的结果。

二、差分数组的应用示例

为了更清楚地理解差分数组的应用，接下来我们通过一个具体的示例来实现区间加法操作。

问题描述

给定一个长度为 n 的数组 arr，我们要进行 m 次区间更新操作。每次操作都会向数组中的一个区间 [l, r] 添加一个常数值 v。请在所有更新操作完成后，输出更新后的数组。

算法思路

创建一个差分数组 diff，初始化为 0。
对每次区间操作进行处理，更新差分数组：
- diff[l] += v（增加区间起始位置的值）
- diff[r + 1] -= v（减去区间结束位置后的元素）
通过差分数组恢复原数组 arr。
输出更新后的数组。

Java 实现

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);// 读取数组长度 n 和操作次数 mint n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();// 初始化数组和差分数组int[] arr = new int[n];int[] diff = new int[n + 1]; // 差分数组// 处理 m 次操作for (int i = 0; i < m; i++) {int l = scanner.nextInt();int r = scanner.nextInt();int v = scanner.nextInt();// 区间更新操作diff[l - 1] += v;  // l-1 为 0-indexedif (r < n) {diff[r] -= v;  // r 为 0-indexed}}// 根据差分数组恢复原数组arr[0] = diff[0];for (int i = 1; i < n; i++) {diff[i] += diff[i - 1];arr[i] = diff[i];}// 输出更新后的数组for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}}
}

代码解析

输入部分：首先，我们读取数组的长度 n 和操作次数 m，然后为差分数组 diff 和原数组 arr 分配空间。差分数组的大小为 n + 1，是为了避免越界。
区间更新：在每次操作中，我们通过 diff[l-1] += v 来标记从 l 位置开始的增量，在 diff[r] -= v 来标记区间的结束。这样，我们通过差分数组记录了所有更新的增量。
还原原数组：最后，通过累加差分数组的值来恢复原数组。arr[0] = diff[0] 是初始化第一项，然后通过遍历差分数组计算出其余的项。
输出结果：输出更新后的数组 arr。

示例

假设输入如下：

第一次操作：将区间 [1, 3] 加上 5，更新差分数组。
第二次操作：将区间 [2, 4] 加上 3，更新差分数组。
第三次操作：将区间 [0, 2] 加上 7，更新差分数组。

经过这些操作，最后通过累加差分数组得到更新后的数组。

输出：

12 15 12 8 0

三、时间复杂度分析

区间更新：每次操作的时间复杂度为 O(1)，我们只对差分数组进行两个加法或减法操作。
恢复原数组：恢复数组的时间复杂度是 O(n)，因为我们需要遍历差分数组并逐步还原出原数组的每一项。
总体复杂度：对于 m 次操作，总时间复杂度为 O(n + m)，在处理大量区间更新操作时，效率比直接进行 m 次区间更新操作（每次更新 O(n)）要高得多。