【算法-动态规划】0-1 背包问题

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博客目录

- - - 1.问题描述
    - 2.问题解析
    - 3.二维解答
    - 4.一维解答
    - 5.继续优化

1.问题描述

0-1 背包问题（0-1 Knapsack Problem）是一个经典的组合优化问题，通常出现在计算机科学和数学中。它的背景是在给定一组物品，每个物品有一个特定的重量和价值，以及一个固定容量的背包。问题的目标是确定应该选择哪些物品放入背包，以使得它们的总重量不超过背包的容量，并且它们的总价值最大化。

0-1 背包问题之所以称为 0-1，是因为对于每个物品，你只有两种选择：要么将它放入背包（表示为 1），要么不放入背包（表示为 0）。不能将一个物品部分放入背包。

2.问题解析

/*1. n个物品都是固体，有重量和价值2. 现在你要取走不超过 10克 的物品3. 每次可以不拿或全拿，问最高价值是多少编号 重量(g)  价值(元)                        简称1   4       1600           黄金一块   400     A2   8       2400           红宝石一粒 300     R3   5       30             白银一块          S4   1       1_000_000      钻石一粒          D1_001_630 贪心解1_002_400 正确解
*/
/*0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   100   0   0   0   0   A   A   A   A   A   A   A       黄金1   0   0   0   0   A   A   A   A   R   R   R       红宝石2   0   0   0   0   A   A   A   A   R   R   R       白银3   0   D   D   D   D   DA  DA  DA  DA  DR  DR      钻石if(装不下) {dp[i][j] = dp[i-1][j]} else { 装得下dp[i][j] = max(dp[i-1][j], item.value + dp[i-1][j-item.weight])}
*/

3.二维解答

static class Item {int index;String name;int weight;int value;public Item(int index, String name, int weight, int value) {this.index = index;this.name = name;this.weight = weight;this.value = value;}@Overridepublic String toString() {return "Item(" + name + ")";}
}public static void main(String[] args) {Item[] items = new Item[]{new Item(1, "黄金", 4, 1600),new Item(2, "宝石", 8, 2400),new Item(3, "白银", 5, 30),new Item(4, "钻石", 1, 10_000),};System.out.println(select(items, 10));
}static int select(Item[] items, int total) {int[][] dp = new int[items.length][total + 1];print(dp);final Item item0 = items[0];for (int j = 0; j < total + 1; j++) {if (j >= item0.weight) {//装得下dp[0][j] = item0.value;}}print(dp);for (int i = 1; i < items.length; i++) {final Item item = items[i];for (int j = 0; j < total + 1; j++) {if (j >= item.weight) {//装得下dp[i][j] = Integer.max(dp[i - 1][j], item.value + dp[i - 1][j - item.weight]);} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}print(dp);}return dp[items.length - 1][total];
}static void print(int[][] dp) {System.out.println(StringUtil.repeat("   " + "-", 20));Object[] array = IntStream.range(0, dp[0].length + 1).boxed().toArray();System.out.printf((StringUtil.repeat("%5d ", dp[0].length)) + "%n", array);for (int[] d : dp) {array = Arrays.stream(d).boxed().toArray();System.out.printf((StringUtil.repeat("%5d ", d.length)) + "%n", array);}
}

4.一维解答

static class Item {int index;String name;int weight;int value;public Item(int index, String name, int weight, int value) {this.index = index;this.name = name;this.weight = weight;this.value = value;}@Overridepublic String toString() {return "Item(" + name + ")";}
}public static void main(String[] args) {Item[] items = new Item[]{new Item(1, "黄金", 4, 1600),new Item(2, "宝石", 8, 2400),new Item(3, "白银", 5, 30),new Item(4, "钻石", 1, 10_000),};System.out.println(select(items, 10));
}static int select(Item[] items, int total) {int[] dp = new int[total + 1];System.out.println(Arrays.toString(dp));final Item item0 = items[0];for (int j = 0; j < total + 1; j++) {if (j >= item0.weight) {//装得下dp[j] = item0.value;}}System.out.println(Arrays.toString(dp));for (int i = 1; i < items.length; i++) {final Item item = items[i];for (int j = total; j > 0; j--) {if (j >= item.weight) {//装得下dp[j] = Integer.max(dp[j], item.value + dp[j - item.weight]);}}System.out.println(Arrays.toString(dp));}return dp[total];
}

5.继续优化

static class Item {int index;String name;int weight;int value;public Item(int index, String name, int weight, int value) {this.index = index;this.name = name;this.weight = weight;this.value = value;}@Overridepublic String toString() {return "Item(" + name + ")";}
}public static void main(String[] args) {Item[] items = new Item[]{new Item(1, "黄金", 4, 1600),new Item(2, "宝石", 8, 2400),new Item(3, "白银", 5, 30),new Item(4, "钻石", 1, 10_000),};System.out.println(select(items, 10));
}static int select(Item[] items, int total) {int[] dp = new int[total + 1];for (int i = 0; i < items.length; i++) {final Item item = items[i];for (int j = total; j > 0; j--) {if (j >= item.weight) {//装得下dp[j] = Integer.max(dp[j], item.value + dp[j - item.weight]);}}System.out.println(Arrays.toString(dp));}return dp[total];
}