题目：二叉搜索树的最近公共祖先

• 给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

题解

• 本题是二叉搜索树，二叉搜索树是有序的，那得好好利用一下这个特点。因为是有序树，所有 如果 中间节点是 q 和 p 的公共祖先，那么 中节点的数组 一定是在 [p, q]区间的。即 中节点 > p && 中节点 < q 或者 中节点 > q && 中节点 < p。

• 从根节点搜索，第一次遇到 cur节点是数值在[q, p]区间中，此时可以说明 q 和 p 一定分别存在于 节点 的左子树，和右子树中。所以当我们从上向下去递归遍历，第一次遇到 cur节点是数值在[q, p]区间中，那么cur就是 q和p的最近公共祖先。

  • 确定递归函数返回值以及参数：参数就是当前节点，以及两个结点 p、q。返回值是要返回最近公共祖先，所以是TreeNode * 。

  • 确定终止条件

  • 确定单层递归的逻辑：那么如果 cur->val 大于 p->val，同时 cur->val 大于q->val，那么就应该向左遍历（说明目标区间在左子树上）。

  • class Solution {
    public:TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {if(root==nullptr){return root;}if(root->val > p->val && root->val > q->val){TreeNode* left=lowestCommonAncestor(root->left,p,q);if(left!=nullptr){return left;}}if(root->val < p->val && root->val < q->val){TreeNode* right=lowestCommonAncestor(root->right,p,q);if(right!=nullptr){return right;}}return root;}
    };
    

题目：二叉搜索树中的插入操作

• 给定二叉搜索树（BST）的根节点 root 和要插入树中的值 value ，将值插入二叉搜索树。 返回插入后二叉搜索树的根节点。 输入数据 保证 ，新值和原始二叉搜索树中的任意节点值都不同。注意，可能存在多种有效的插入方式，只要树在插入后仍保持为二叉搜索树即可。 你可以返回 任意有效的结果 。

题解

• 只要遍历二叉搜索树，找到空节点 插入元素就可以了，那么这道题其实就简单了。

• 确定递归函数参数以及返回值：参数就是根节点指针，以及要插入元素，返回值的话，可以利用返回值完成新加入的节点与其父节点的赋值操作。递归函数的返回类型为节点类型TreeNode * 。

• 确定终止条件：终止条件就是找到遍历的节点为null的时候，就是要插入节点的位置了，并把插入的节点返回。

• 确定单层递归的逻辑：搜索树是有方向了，可以根据插入元素的数值，决定递归方向。到这里，大家应该能感受到，如何通过递归函数返回值完成了新加入节点的父子关系赋值操作了，下一层将加入节点返回，本层用root->left或者root->right将其接住。

  • class Solution {
    public:TreeNode* insertIntoBST(TreeNode* root, int val) {if(root == nullptr){TreeNode* temp_node = new TreeNode(val);return temp_node;}if(root->val > val){root->left = insertIntoBST(root->left,val);}if(root->val < val){root->right = insertIntoBST(root->right,val);}return root;}
    };
    

题目：删除二叉搜索树中的节点

• 给定一个二叉搜索树的根节点 root 和一个值 key，删除二叉搜索树中的 key 对应的节点，并保证二叉搜索树的性质不变。返回二叉搜索树（有可能被更新）的根节点的引用。一般来说，删除节点可分为两个步骤：首先找到需要删除的节点；然后删除它。
• 

题解

• 确定递归函数参数以及返回值

• 确定终止条件

• 确定单层递归的逻辑:这里就把二叉搜索树中删除节点遇到的情况都搞清楚。

  • 第一种情况：没找到删除的节点，遍历到空节点直接返回了

  • 第二种情况：左右孩子都为空（叶子节点），直接删除节点， 返回NULL为根节点

  • 第三种情况：删除节点的左孩子为空，右孩子不为空，删除节点，右孩子补位，返回右孩子为根节点

  • 第四种情况：删除节点的右孩子为空，左孩子不为空，删除节点，左孩子补位，返回左孩子为根节点

  • 第五种情况：左右孩子节点都不为空，则将删除节点的左子树头结点（左孩子）放到删除节点的右子树的最左面节点的左孩子上，返回删除节点右孩子为新的根节点。

  • class Solution {
    public:TreeNode* deleteNode(TreeNode* root, int key) {if(root==nullptr){return root;}if(root->val == key){if(root->left == nullptr && root->right == nullptr){delete root;return nullptr;}else if(root->left == nullptr){auto temp=root->right;delete root;return temp;}else if(root->right == nullptr){auto temp=root->left;delete root;return temp;}else{TreeNode* cur=root->right;while(cur->left != nullptr){cur=cur->left;}cur->left=root->left;TreeNode* temp = root;root = root->right; // 返回旧root的右孩子作为新rootdelete temp;return root;}}if(root->val > key) root->left=deleteNode(root->left,key);if(root->val < key) root->right=deleteNode(root->right,key);return root;}
    };
    

• 因为二叉搜索树添加节点只需要在叶子上添加就可以的，不涉及到结构的调整，而删除节点操作涉及到结构的调整。这里最关键的逻辑就是第五种情况（删除一个左右孩子都不为空的节点），这种情况一定要想清楚。