1、红黑树简介

1.1 、概述：介绍红黑树的定义、特点和用途。

如果发明AVL树的人是大牛的话，那么发明红黑树的人简直是天才。
红黑树和AVL树都是自平衡的二叉搜索树，它们在解决相同问题上有一些不同的权衡。
AVL树是最早提出的自平衡二叉搜索树之一。它通过维护每个节点的平衡因子（即右子树高度减去左子树高度）来保持树的平衡。当插入或删除操作导致某个节点的平衡因子超过1或小于-1时，需要进行旋转操作来重新平衡整棵树。这使得AVL树能够提供更加严格的平衡性，对于查找操作具有较快的时间复杂度。
然而，AVL树的平衡性是以牺牲部分插入和删除操作的效率为代价的。由于要保持严格的平衡，每次插入或删除一个节点后，可能需要进行多次旋转操作来恢复平衡，这会导致较高的调整成本。因此，在频繁执行插入和删除操作的场景下，AVL树的性能可能不如其他数据结构。

红黑树则是为了解决AVL树在插入和删除操作上的效率问题而引入的（不同场景用不同的树）。相比于AVL树的严格平衡性，红黑树放宽了平衡的要求，以牺牲部分平衡性为代价来提高插入和删除操作的效率。

红黑树通过引入颜色标记和旋转操作来维护树的平衡。它的平衡性是基于一组规则，而不像AVL树那样严格依赖平衡因子。这使得红黑树在进行插入和删除操作时需要较少的旋转操作，从而降低了调整成本。
总结起来，红黑树相对于AVL树具有更好的插入和删除操作的性能，但查找操作的性能略逊于AVL树。因此，选择使用红黑树还是AVL树取决于具体应用场景中对插入、删除和查找操作的需求和权衡。

定义：

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路
径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

性质：

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
   思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

第4条性质要求每个结点到其所有后代叶子结点的简单路径上包含相同数量的黑色结点。因此，在红黑树中，任意从根节点到叶子结点的路径都具有相同数量的黑色结点。这意味着没有一条路径会比其他路径更长。
同时，根据第3条性质，如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点必须是黑色的。这样，通过限制红色节点的位置，红黑树避免了出现连续的红色节点路径。这样做的目的是防止某些路径过于深，导致树的高度增加。由于以上性质的限制，红黑树的每条路径上的黑色节点数量是相等的，并且没有连续的红色节点路径。这就保证了最长路径（从根节点到任意叶子结点的路径）中的节点个数不会超过最短路径的两倍。这种平衡性质确保了红黑树在动态操作中具有较好的性能。
总结起来，通过限制红色节点的位置和要求每条路径上包含相同数量的黑色节点，红黑树可以保持相对平衡，并且最长路径中的节点个数不会超过最短路径的两倍。这使得红黑树在插入、删除和查找等操作时都能够获得较好的时间复杂度。

2、红黑树节点的定义

// 节点的颜色
enum Color{RED, BLACK};
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _color(color){}RBTreeNode<ValueType>* _pLeft;  // 节点的左孩子RBTreeNode<ValueType>* _pRight;  // 节点的右孩子RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给//出该字段)ValueType _data;       // 节点的值域Color _color;        // 节点的颜色
};

思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

在红黑树中，将节点的默认颜色设置为红色是出于实现方便和性能优化的考虑。
红黑树通过一些特定的规则来保持平衡，其中之一是确保没有两个连续的红色节点。这个规则的目的是防止红黑树变得过度不平衡，并且可以在插入和删除操作时提供更好的性能。
如果将新插入的节点的默认颜色设置为黑色，那么在执行插入操作后，可能会违反红黑树的某些性质。此时，我们需要进行调整操作来修复违反的性质，这可能涉及到旋转和重新着色等复杂的操作。
相比之下，将新插入的节点的默认颜色设置为红色可以简化插入操作的实现。因为新插入的节点是红色的，它不会破坏红黑树的任何性质。插入操作只需按照二叉搜索树的规则将节点放置在正确的位置上，然后再利用一系列的旋转和重新着色操作来恢复红黑树的平衡性。
通过将节点的默认颜色设置为红色，我们可以减少在插入操作中所需的调整次数，从而提高了性能。这种选择也是为了简化红黑树的实现和维护，使其更易于理解和调试。
需要注意的是，默认颜色为红色只是一种约定，并不是强制规定。在某些特殊情况下，可以将默认颜色设置为黑色或其他颜色，但要确保插入操作和平衡调整仍然能够正确工作并满足红黑树的性质。

3、红黑树结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为根节点必须为黑色，为了
与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点，pLeft
域指向红黑树中最小的节点，_pRight域指向红黑树中最大的节点，如下：

3.1、红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

template<class ValueType>
class RBTree
{//……bool Insert(const ValueType& data){PNode& pRoot = GetRoot();if (nullptr == pRoot){pRoot = new Node(data, BLACK);// 根的双亲为头节点pRoot->_pParent = _pHead;_pHead->_pParent = pRoot;}else{// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点// 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，//  若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理}// 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色pRoot->_color = BLACK;_pHead->_pLeft = LeftMost();_pHead->_pRight = RightMost();return true;
}
private:PNode& GetRoot(){ return _pHead->_pParent;}// 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点PNode LeftMost();// 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点PNode RightMost();
private:PNode _pHead;
}

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
   因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何
   性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连
   在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
   约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

cur和p均为红，违反了性质三，此处能否将p直接改为黑？
解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
p、g变色–p变黑，g变红

情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转
则转换成了情况2

针对每种情况进行相应的处理即可。

bool Insert(const ValueType& data)
{// ...// 新节点插入后，如果其双亲节点的颜色为空色，则违反性质3：不能有连在一起的红色结
点
while(pParent && RED == pParent->_color)
{// 注意：grandFather一定存在// 因为pParent存在，且不是黑色节点，则pParent一定不是根，则其一定有双亲PNode grandFather = pParent->_pParent;// 先讨论左侧情况
if(pParent == grandFather->_pLeft)
{PNode unclue = grandFather->_pRight;
// 情况三：叔叔节点存在，且为红
if(unclue && RED == unclue->_color)
{pParent->_color = BLACK;unclue->_color = BLACK;grandFather->_color = RED;pCur = grandFather;pParent = pCur->_pParent;
}else{// 情况五：叔叔节点不存在，或者叔叔节点存在且为黑if(pCur == pParent->_pRight){_RotateLeft(pParent);swap(pParent, pCur);}// 情况五最后转化成情况四grandFather->_color = RED;pParent->_color = BLACK;_RotateRight(grandFather);}
}
else{// 右侧请学生们自己动手完成}
}// ...
} 

4、红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
2. 检测其是否满足红黑树的性质

bool IsValidRBTree()
{PNode pRoot = GetRoot();// 空树也是红黑树if (nullptr == pRoot)return true;// 检测根节点是否满足情况if (BLACK != pRoot->_color){cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;return false;}// 获取任意一条路径中黑色节点的个数size_t blackCount = 0;PNode pCur = pRoot;while (pCur){if (BLACK == pCur->_color)blackCount++;pCur = pCur->_pLeft;}// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数size_t k = 0;return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{//走到null之后，判断k和black是否相等if (nullptr == pRoot){if (k != blackCount){cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;return false;}return true;}
// 统计黑色节点的个数if (BLACK == pRoot->_color)k++;// 检测当前节点与其双亲是否都为红色PNode pParent = pRoot->_pParent;if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color){cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;return false;}return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount) &&_IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
}

4.1、红黑树的删除

红黑树的删除本节不做讲解，有兴趣的同学可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》
http://www.cnblogs.com/fornever/archive/2011/12/02/2270692.html

4.2、红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($lo{g}_{2}N$)，红黑树不追
求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，
所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红
黑树更多。

4.3、红黑树的应用

1. C++ STL库 – map/set、mutil_map/mutil_set
2. Java 库
3. linux内核
4. 其他一些库
   http://www.cnblogs.com/yangecnu/p/Introduce-Red-Black-Tree.html

5、总结

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，通过满足一系列性质来保证查找、插入和删除操作的效率。它是一种广泛应用于各种场景的重要数据结构，展示了平衡二叉搜索树的强大功能和灵活性。尽管红黑树已经具有很好的性能，但未来的研究还可以进一步改进其性能或扩展其应用范围。例如，可以研究红黑树的内存使用优化、动态调整参数等新特性来更好地适应不断变化的应用需求。