卷积神经网络的感受野

经典目标检测和最新目标跟踪都用到了RPN(region proposal network)，锚框(anchor)是RPN的基础，感受野(receptive field, RF)是anchor的基础。本文介绍感受野及其计算方法，和有效感受野概念。

1.感受野概念

在典型CNN结构中，FC层(全连接层，FC layer)每个输出节点的值都依赖FC层所有输入，而CONV层(卷积层，Convolutional Layer)每个输出节点的值仅依赖CONV层输入的一个区域，这个区域之外的其他输入值都不会影响输出值，该区域就是感受野。

图中是个微型CNN，来自Inception-v3论文(Rethinking the Inception Architecture for Computer Vision)，原图是为了说明一个conv5x5可以用两个conv3x3代替，从下到上称为第1, 2, 3层：

第2层左下角的值，是第1层左下红框中3x3区域的值经过卷积，也就是乘加运算计算出来的，即第2层左下角位置的感受野是第1层左下红框区域
第3层唯一值，是第2层所有3x3区域卷积得到的，即第3层唯一位置的感受野是第2层所有3x3区域
第3层唯一值，是第1层所有5x5区域经过两层卷积得到的，即第3层唯一位置的感受野是第1层所有5x5区域

就是这么简单，某一层feature map(特性图)中某个位置的特征向量，是由前面某一层固定区域的输入计算出来的，那这个区域就是这个位置的感受野。任意两个层之间都有位置—感受野对应关系，但我们更常用的是feature map层到输入图像的感受野，如目标检测中我们需要知道feature map层每个位置的特征向量对应输入图像哪个区域，以便我们在这个区域中设置anchor，检测该区域内的目标。

感受野区域之外图像区域的像素不会影响feature map层的特征向量，所以我们不太可能让CNN仅依赖某个特征向量去找到其对应输入感受野之外的目标。这里说“不太可能”而不是“绝无可能”，是因为CNN很强大，且图像像素之间有相关性，有时候感受野之外的目标是可以猜出来的，什么一叶知秋，管中窥豹，见微知著之类，对CNN目标检测都是有可能的，但猜出来的结果并不总是那么靠谱。

感受野有什么用呢？

一般task要求感受野越大越好，如图像分类中最后卷积层的感受野要大于输入图像，网络深度越深感受野越大性能越好
密集预测task要求输出像素的感受野足够的大，确保做出决策时没有忽略重要信息，一般也是越深越好
目标检测task中设置anchor要严格对应感受野，anchor太大或偏离感受野都会严重影响检测性能

2.感受野计算

我们首先介绍一种从后向前计算方法，极其简单适合人脑计算，看看网络结构就知道感受野了，之后介绍一种通用的从前往后计算方法，比较规律适合电脑计算，简单编程就可以计算出感受野大小和位置。

感受野是一个矩形区域，如果卷积核全都长宽相等，则对应感受野就是正方形区域。输出feature map中每个位置都对应输入图像一个感受野区域，所有位置的感受野在输入图像上以固定步进的方式平铺。

我们要计算感受野的大小r(长或宽)和不同区域之间的步进S，从前往后的方法以感受野中心(x,y)的方式确定位置，从后往前的方法以等效padding P的方式确定位置。CNN的不同卷积层，用k表示卷积核大小，s表示步进（s1表示步进是1，s2表示步进是2），下标表示层数。

从后往前的计算方式的出发点是：一个conv5x5的感受野等于堆叠两个conv3x3，反之两个堆叠的conv3x3感受野等于一个conv5x5，推广之，一个多层卷积构成的FCN感受野等于一个conv rxr，即一个卷积核很大的单层卷积，其kernelsize=r，padding=P，stride=S。

（如果我们将一个Deep ConvNet从GAP处分成两部分，看成是FCN (全卷积网络)+MLP (多层感知机)，从感受野角度看FCN等价于一个单层卷积提取特征，之后特征经MLP得到预测结果，这个单层卷积也就比Sobel复杂一点，这个MLP可能还没SVM高端，CNN是不是就没那么神秘了~）

以下是一些显(bu)而(hui)易(zheng)见(ming)的结论：

初始feature map层的感受野是1
每经过一个convkxk s1的卷积层，感受野 r = r + (k - 1)，常用k=3感受野 r = r + 2, k=5感受野r = r + 4
每经过一个convkxk s2的卷积层或max/avg pooling层，感受野 r = (r x 2) + (k -2)，常用卷积核k=3, s=2，感受野 r = r x 2 + 1，卷积核k=7, s=2, 感受野r = r x 2 + 5
每经过一个maxpool2x2 s2的max/avg pooling下采样层，感受野 r = r x 2
特殊情况，经过conv1x1 s1不会改变感受野，经过FC层和GAP层，感受野就是整个输入图像
经过多分枝的路径，按照感受野最大支路计算，shotcut也一样所以不会改变感受野
ReLU, BN，dropout等元素级操作不会影响感受野
全局步进等于经过所有层的步进累乘，S = s-1 x s-2 x s-3 x s-4
经过的所有层所加padding都可以等效加在输入图像，等效值P，直接用卷积的输入输出公式fout = (fin - r + 2P) / S+1 反推出P即可

这种计算方法有多简单呢？我们来计算目标检测中最常用的两个backbone的感受野。最初版本SSD和Faster R-CNN的backbone都是VGG-16，结构特点卷积层都是conv3x3s1，下采样层都是maxpool2x2s2。先来计算SSD中第一个feature map输出层的感受野，结构是conv4-3 backbone + conv3x3 classifier (为了写起来简单省掉了左边括号)：

以上结果表示感受野的分布方式是：在paddding=53(上下左右都加) 的输入224x224图像上，大小为108x108的正方形感受野区域以stride=8平铺。

再来计算Faster R-CNN中conv5-3+RPN的感受野，RPN的结构是一个conv3x3+两个并列conv1x1：

分布方式为在paddding=113的输入224x224图像上，大小为228x228的正方形感受野区域以stride=16平铺。

接下来是Faster R-CNN+++和R-FCN等采用的重要backbone的ResNet，常见ResNet-50和ResNet-101，结构特点是block由conv1x1+conv3x3+conv1x1构成，下采样block中conv3x3 s2影响感受野。先计算ResNet-50在conv4-6 + RPN的感受野 (为了写起来简单堆叠卷积层合并在一起)：

P不是整数，表示conv7x7 s2卷积有多余部分。分布方式为在paddding=149的输入224x224图像上，大小为299x299的正方形感受野区域以stride=16平铺。

ResNet-101在conv4-23 + RPN的感受野：

分布方式为在paddding=421的输入224x224图像上，大小为843x843的正方形感受野区域以stride=16平铺。

以上结果都可以反推验证，并且与后一种方法结果一致。从以上计算可以发现一些的结论：

步进1的卷积层线性增加感受野，深度网络可以通过堆叠多层卷积增加感受野
步进2的下采样层乘性增加感受野，但受限于输入分辨率不能随意增加
步进1的卷积层加在网络后面位置，会比加在前面位置增加更多感受野，如stage4加卷积层比stage3的感受野增加更多
深度CNN的感受野往往是大于输入分辨率的，如上面ResNet-101的843比输入分辨率大3.7倍
深度CNN为保持分辨率每个conv都要加padding，所以等效到输入图像的padding非常大

前面的方法是我自用的没有出处，但后面要介绍的方法是通用的，来自一篇著名博客(需翻墙)，再次强调两种方法的结果是完全一致的：

文中给出了通用的计算公式，也是逐层计算，不同点在于这里是从前往后计算，核心四个公式：

上式中n是feature map的大小，p是padding，k是kernel size，j是jump(前面的S)，r是感受野大小，start是第一个特征向量(左上角位置)对应感受野的中心坐标位置。搬运并翻译：

公式一是通用计算卷积层输入输出特征图大小的标准公式
公式二计算输出特征图的jump，等于输入特征图的jump乘当前卷积层的步进s
公式三计算感受野大小，等于输入感受野加当前层的卷积影响因子(k - 1) * jin，注意这里与当前层的步进s没有关系
公式四计算输出特征图左上角位置第一个特征向量，对应输入图像感受野的中心位置，注意这里与padding有关系

从以上公式可以看出：start起始值为0.5，经过k=3, p=1时不变，经过k=5, p=2时不变

计算出r, j和start之后，所有位置感受野的大小都是r，其他位置的感受野中心是start按照j滑窗得到。这种方法比较规律，推荐编程实现。

3.有效感受野

NIPS 2016论文Understanding the Effective Receptive Field in Deep Convolutional Neural Networks提出了有效感受野（Effective Receptive Field, ERF）理论，论文发现并不是感受野内所有像素对输出向量的贡献相同，在很多情况下感受野区域内像素的影响分布是高斯，有效感受野仅占理论感受野的一部分，且高斯分布从中心到边缘快速衰减，下图第二个是训练后CNN的典型有效感受野。

这点其实也很好理解，继续回到最初那个微型CNN，我们来分析第1层，下图标出了conv3x3 s1卷积操作对每个输入值的使用次数，用蓝色数字表示，很明显越靠近感受野中心的值被使用次数越多，靠近边缘的值使用次数越少。5x5输入是特殊情况刚好符合高斯分布，3x3输入时所有值的使用次数都是1，大于5x5输入时大部分位于中心区域的值使用次数都是9，边缘衰减到1。每个卷积层都有这种规律，经过多层堆叠，总体感受野就会呈现高斯分布。