上一节使用的高斯核的指数部分可以视为注意力评分函数（attention scoring function），简称评分函数（scoring function）。

后续把评分函数的输出结果输入到softmax函数中进行运算。最后，注意力汇聚的输出就是基于这些注意力权重的值的加权和。该过程可描述为下图：

用数学语言描述为：

$$f(\mathbf{q},({\mathbf{k}}_1,{\mathbf{v}}_1),\dots ,({\mathbf{k}}_m,{\mathbf{v}}_m))=\sum _{i=1}^m\alpha (\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i){\mathbf{v}}_i\in {\mathbb{R}}^v$$

其中查询 $\mathbf{q}$ 和键 ${\mathbf{k}}_i$ 的注意力权重（标量）是通过注意力评分函数 $a$ 将两个向量映射成标量，再经过softmax运算得到的：

$$\alpha (\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i)=\mathrm{softmax}(a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i))=\frac{a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i)}{{\sum }_{j=1}^m\exp a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i)}\in \mathbb{R}$$

import math
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

以下介绍的是两个流行的评分函数。

10.3.1 遮蔽 softmax 操作

并非所有的值都应该被纳入到注意力汇聚中。下面的 masked_softmax 函数实现了这样的掩蔽softmax操作（masked softmax operation），其中任何超出有效长度的位置都被掩蔽并置为0。

#@save
def masked_softmax(X, valid_lens):"""通过在最后一个轴上掩蔽元素来执行softmax操作"""# X:3D张量，valid_lens:1D或2D张量if valid_lens is None:return nn.functional.softmax(X, dim=-1)else:shape = X.shapeif valid_lens.dim() == 1:valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])else:valid_lens = valid_lens.reshape(-1)# 最后一轴上被掩蔽的元素使用一个非常大的负值替换，从而其softmax输出为0X = d2l.sequence_mask(X.reshape(-1, shape[-1]), valid_lens,value=-1e6)return nn.functional.softmax(X.reshape(shape), dim=-1)

print(masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([2, 3])))  # 两样本有效长度分别为 2 和 3
print(masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([[1, 3], [2, 4]])))  # 也可以给每一行指定有效长度

tensor([[[0.4297, 0.5703, 0.0000, 0.0000],[0.6186, 0.3814, 0.0000, 0.0000]],[[0.2413, 0.3333, 0.4254, 0.0000],[0.4165, 0.2801, 0.3034, 0.0000]]])
tensor([[[1.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],[0.3277, 0.4602, 0.2121, 0.0000]],[[0.5026, 0.4974, 0.0000, 0.0000],[0.2684, 0.2599, 0.2613, 0.2103]]])

10.3.2 加性注意力

当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用加性注意力作为评分函数。加性注意力（additive attention）的评分函数为：

$$a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i)={\mathrm{w}}_v^T\tanh ({\mathrm{W}}_q\mathbf{q}+{\mathrm{W}}_k\mathbf{k})\in \mathbb{R}$$

参数字典：

• $\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^q$ 表示查询

• $\mathbf{k}\in {\mathbb{R}}^k$ 表示键

• ${\mathrm{W}}_q\in {\mathbb{R}}^{h\times q}$、${\mathrm{W}}_k\in {\mathbb{R}}^{h\times k}$ 和 ${\mathrm{W}}_v\in {\mathbb{R}}^h$ 均为可学习参数。

#@save
class AdditiveAttention(nn.Module):"""加性注意力"""def __init__(self, key_size, query_size, num_hiddens, dropout, **kwargs):super(AdditiveAttention, self).__init__(**kwargs)self.W_k = nn.Linear(key_size, num_hiddens, bias=False)self.W_q = nn.Linear(query_size, num_hiddens, bias=False)self.w_v = nn.Linear(num_hiddens, 1, bias=False)self.dropout = nn.Dropout(dropout)  # 使用了暂退法进行模型正则化def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):# 初始 q 和 k 的形状如下，不好直接加# queries 的形状：(batch_size，查询的个数，num_hidden)# key 的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，num_hiddens)queries, keys = self.W_q(queries), self.W_k(keys)# 在维度扩展后，# queries 的形状：(batch_size，查询的个数，1，num_hidden)# key 的形状：(batch_size，1，“键－值”对的个数，num_hiddens)features = queries.unsqueeze(2) + keys.unsqueeze(1)  # 优雅，实在优雅 使用广播方式进行求和features = torch.tanh(features)# self.w_v 仅有一个输出，因此从形状中移除最后那个维度。# scores 的形状：(batch_size，查询的个数，“键-值”对的个数)scores = self.w_v(features).squeeze(-1)  # 把最后一个维度去掉self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)# values的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，值的维度)return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)

queries, keys = torch.normal(0, 1, (2, 1, 20)), torch.ones((2, 10, 2))  # 查询、键和值的形状为（批量大小，步数或词元序列长度，特征大小）
# values的小批量，两个值矩阵是相同的
values = torch.arange(40, dtype=torch.float32).reshape(1, 10, 4).repeat(2, 1, 1)
valid_lens = torch.tensor([2, 6])attention = AdditiveAttention(key_size=2, query_size=20, num_hiddens=8,dropout=0.1)
attention.eval()
attention(queries, keys, values, valid_lens)  # 注意力汇聚输出的形状为（批量大小，查询的步数，值的维度）

tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],[[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]], grad_fn=<BmmBackward0>)

d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),  # 本例子中每个键都是相同的，所以注意力权重是均匀的，由指定的有效长度决定。xlabel='Keys', ylabel='Queries')

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10.3.3 缩放点积注意力

使用点积可以得到计算效率更高的评分函数，缩放点积注意力（scaled dot-product attention）评分函数为：

$$a(\mathbf{q},\mathbf{k})={\mathbf{q}}^T\mathbf{k}/\sqrt{d}$$

在实践中，我们通常从小批量的角度来考虑提高效率：

$$\mathrm{softmax}\left(\frac{\mathbf{Q}{\mathbf{K}}^T}{\sqrt{d}}\right)\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{n\times v}$$

实际上就是用两个向量内积作为 Q 和 K 的相似度（越不像越正交，越正交内积越接近零），最后来个 softmax 归到概率上。中间除个 $\sqrt{d}$ 是为了在向量尺寸比较大的时候使概率分布更平滑。

#@save
class DotProductAttention(nn.Module):"""缩放点积注意力"""def __init__(self, dropout, **kwargs):super(DotProductAttention, self).__init__(**kwargs)self.dropout = nn.Dropout(dropout)# queries的形状：(batch_size，查询的个数，d)# keys的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，d)# values的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，值的维度)# valid_lens的形状:(batch_size，)或者(batch_size，查询的个数)def forward(self, queries, keys, values, valid_lens=None):d = queries.shape[-1]# 设置transpose_b=True为了交换keys的最后两个维度scores = torch.bmm(queries, keys.transpose(1,2)) / math.sqrt(d)self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)

queries = torch.normal(0, 1, (2, 1, 2))  # 点积操作需要查询的特征维度与键的特征维度大小相同
attention = DotProductAttention(dropout=0.5)  # 使用了暂退法进行模型正则化
attention.eval()
attention(queries, keys, values, valid_lens)

tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],[[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]])

d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),xlabel='Keys', ylabel='Queries')

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练习

（1）修改小例子中的键，并且可视化注意力权重。可加性注意力和缩放的“点－积”注意力是否仍然产生相同的结果？为什么？

不一样，评分函数不一样，键值不同的话那注意力汇聚肯定不一样的。

queries_new, keys_rand = torch.normal(0, 1, (2, 1, 2)), torch.rand((2, 10, 2))
values = torch.arange(40, dtype=torch.float32).reshape(1, 10, 4).repeat(2, 1, 1)
valid_lens = torch.tensor([2, 6])attention_rand = AdditiveAttention(key_size=2, query_size=2, num_hiddens=8,dropout=0.1)
attention_rand.eval()
attention_rand(queries_new, keys_rand, values, valid_lens)d2l.show_heatmaps(attention_rand.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),xlabel='Keys', ylabel='Queries')

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attention_rand = DotProductAttention(dropout=0.5)
attention_rand.eval()
attention_rand(queries_new, keys_rand, values, valid_lens)d2l.show_heatmaps(attention_rand.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),xlabel='Keys', ylabel='Queries')

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（2）只使用矩阵乘法，能否为具有不同矢量长度的查询和键设计新的评分函数？

可以想办法把他俩映射到一个长度。

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（3）当查询和键具有相同的矢量长度时，矢量求和作为评分函数是否比“点－积”更好？为什么？

不会，略。